大学入試数学過去問
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k71s2

α，βは複素数でαの絶対値は1とする．このとき
z+\alpha\bar{z}+\beta=0
を満足する複素数zがあるための必要十分条件は\alpha\bar{\beta}=\betaであることを示せ．
ここに\bar{z},\bar{\beta}はそれぞれz,βの共役複素数を表す．
(i)必要性
このようなzが存在すると仮定する．
元の式の共役を取ってαをかけると，\alpha\bar{\alpha}=1なので
z+\alpha\bar{z}+\alpha\bar{\beta}=0.
これと元の式の差を取って\alpha\bar{\beta}=\beta.
(ii)十分性
\alpha\bar{\beta}=\betaであると仮定する．
このとき，z=-\frac{\beta}{2}とおくと
z+\alpha\bar{z}+\beta=-\frac{\beta}{2}-\frac{\beta}{2}+\beta=0．

(i),(ii)より示された．
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最終更新：2013年09月07日 21:19