大学入試数学過去問
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k73s2

p,q,rは実数とする．3次方程式x^3+px^2+qx+r=0において，一根が1で，他の二根はその絶対値がいずれも1であるための必要十分条件を求めよ．
他の2根をa，bとおく．
(i)aが虚数の場合
bはaの共役複素数なのでab=1．a+b=tとおくと\arg a\neq\arg bより|t|<|a|+|b|=2．
与式左辺=(x-1)(x^2-tx+1)=x^3-(t+1)x^2+(t+1)x-1となるので，r=-1，p=-qかつ-3<p<1．
逆にr=-1，p=-qかつ-3<p<1のとき，与式左辺=(x-1)\{x^2+(p+1)x+1\}であり，
x^2+(p+1)x+1=0の判別式D=(p+1)^2-4&lt;0よりx^2+(p+1)x+1=0の根は虚数でありいずれも絶対値1．

(ii)aが実数のときbも実数であり，(a,b)=(1,1)(1,-1)(-1,1)(-1,-1)のいずれか．
従って与式左辺=(x-1)^3,(x-1)^2(x+1),(x-1)(x+1)^2=x^3-3x^2+3x-1,x^3\pm x^2-x\mp 1．
つまり，(p,q,r)=(-3,3,-1),(1,-1,-1),(-1,-1,1)．

(i),(ii)を合わせて(p,q,r)=(p,-p,-1) [-3≦p≦1]，(-1,-1,1)
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最終更新：2013年09月07日 22:51