大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k73l4

\vec{a},\vec{b},\vec{c}は平面上の単位ベクトルで，どの二つも120°の角をなすものとする．このとき，この平面上の任意のベクトル\vec{x}に対して，
1. \vec{a}\cdot\vec{x}+\vec{b}\cdot\vec{x}+\vec{c}\cdot\vec{x}=\vec{0}が成り立つことを示せ．
2. (\vec{a}\cdot\vec{x})^2+(\vec{b}\cdot\vec{x})^2+(\vec{c}\cdot\vec{x})^2の値を\vec{x}の大きさlを用いて表わせ．
ただし，\vec{a}\cdot\vec{x}などはベクトルの内積を表わす．
どの二つも120°の角をなす単位ベクトルだから
|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2=1，
\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=-\frac{1}{2}．

1.
|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a})=0
なので\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0．
従って\vec{a}\cdot\vec{x}+\vec{b}\cdot\vec{x}+\vec{c}\cdot\vec{x}=(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot\vec{x}=0．
2.
1より(\vec{a}\cdot\vec{x})^2=(\vec{b}\cdot\vec{x}+\vec{c}\cdot\vec{x})^2=(\vec{b}\cdot\vec{x})^2+(\vec{c}\cdot\vec{x})^2+2(\vec{b}\cdot\vec{x})(\vec{c}\cdot\vec{x})
であるから，2(\vec{b}\cdot\vec{x})(\vec{c}\cdot\vec{x})=(\vec{a}\cdot\vec{x})^2-(\vec{b}\cdot\vec{x})^2-(\vec{c}\cdot\vec{x})^2.
\vec{d}=\frac{\vec{b}-\vec{c}}{\sqrt{3}}とおく．|\vec{d}|^2=1，\vec{a}\cdot\vec{d}=0なので，
平面上の任意のベクトルは\vec{x}=s\vec{a}+t\vec{d}とおくことができ，
l^2=|\vec{x}|^2=s^2+t^2=(\vec{a}\cdot\vec{x})^2+(\vec{d}\cdot\vec{x})^2
=(\vec{a}\cdot\vec{x})^2+\frac{(\vec{b}\cdot\vec{x})^2+(\vec{c}\cdot\vec{x})^2-2(\vec{b}\cdot\vec{x})(\vec{c}\cdot\vec{x})}{3}
=\frac{2}{3}\{(\vec{a}\cdot\vec{x})^2+(\vec{b}\cdot\vec{x})^2+(\vec{c}\cdot\vec{x})^2\}
従って求める値は\frac{3l^2}{2}.
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最終更新：2013年09月08日 00:26