k74s4

F(x),g(x)がxの多項式で，次の三条件をみたすものとする．F(x)およびg(x)を求めよ．
(イ) $\frac{dF(x)}{dx}=g(x)$ .
(ロ)F(x)はg(x)で割り切れる．
(ハ)g(x)はn次式で， $x^n$ の係数は1， $x^{n-1}$ の係数は0である．

F(x)=(ax+b)g(x)とおける．
$\frac{g(x)}{F(x)}=\frac{1}{ax+b}$ を両辺xで積分して $\log F(x)=\frac{1}{a}\log(x+\frac{b}{a})+C$ ．Cは積分定数．
従って $F(x)=e^C(x+\frac{b}{a})^{\frac{1}{a}}$ ．
F(x)はn+1次多項式なので $\frac{1}{a}=n+1$ ，
$g(x)=\frac{dF(x)}{dx}=(n+1)e^C\{x+(n+1)b\}^n$ となるので，
$x^n$ の係数を考えると $(n+1)e^C=1$ ，更に $x^{n-1}$ の係数を考えると $n(n+1)b=0$ ．
以上を整理すると $F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ， $g(x)=x^n$ ．

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最終更新：2013年09月08日 12:32

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