大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k74l3

(x^3+\sqrt{2}x^2+{}^3\sqrt{3}x+1)^{100}を展開したときの，x^{296}の係数を求めよ．
(与式)
=\sum_{0\leq k,l,m, k+l+m\leq 100}{100\choose k+l+m}{k+l+m\choose k}{l+m\choose l}(x^3)^{(100-k-l-m)}(\sqrt{2}x^2)^k({}^3\sqrt{3}x)^l1^m
=\sum_{0\leq k,l,m, k+l+m\leq 100}{100\choose k+l+m}{k+l+m\choose k}{l+m\choose l}x^{(300-k-2l-3m)}\sqrt{2}^k{}^3\sqrt{3}^l.
300-k-2l-3m=296となるのは(k,l,m)=(4,0,0)(2,1,0)(1,0,1)(0,2,0)．
(i)(4,0,0)
{100\choose4}\sqrt{2}^4=\frac{100\cdot99\cdot98\cdot97}{4\cdot3\cdot2\cdot1}\cdot4=15684900
(ii)(2,1,0)
{100\choose3}{3\choose2}\sqrt{2}^2\cdot{}^3\sqrt{3}^1=\frac{100\cdot99\cdot 98}{3\cdot2\cdot1}\cdot2\cdot{}^3\sqrt{3}= 9702\cdot{}^3\sqrt{3}
(iii)(1,0,1)
{100\choose2}{2\choose1}\sqrt{2}^1=\frac{100\cdot 99}{2\cdot1}\cdot2\cdot\sqrt{2}=9900\sqrt{2}
(iv)(0,2,0)
{100\choose2}{}^3\sqrt{3}^2=\frac{100\cdot99}{2\cdot1}\cdot{}^3\sqrt{3}^2=4950\cdot{}^3\sqrt{3}^{2}

(i)(ii)(iii)(iv)を足して，求める係数は
15684900+9900\sqrt{2}+9702\cdot{}^3\sqrt{3}+4950\cdot{}^3\sqrt{3}^{2}.
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最終更新：2013年09月08日 22:33