大学入試数学過去問
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k76s2

1つの平面内にある，いくつかの0でないベクトルからなる集合Sが条件
"\mathbf{a}, \mathbf{b}がSのベクトルであれば\frac{2(\mathbf{a},\mathbf{b})}{(\mathbf{b},\mathbf{b})}は整数である"
をみたしているという．ただし，(\mathbf{a},\mathbf{b})等はベクトルの内積をあらわす．
1. Sの2つのベクトルの間の角は，0°, 30°, 45°, 60°, 90°およびこれらの補角のうちの1つであることを示せ．
2. (1)において，角が0°,30°,60°の場合には，2つのベクトルの長さの比はどうなるか．
3. 30°の角をなすベクトル\mathbf{a},\mathbf{b}を含み，12個のベクトルからなる集合Sの例を図示し，各ベクトルを\mathbf{a}, \mathbf{b}で表せ．
1.
\mathbf{a}と\mathbf{b}の大きさをそれぞれa,b，なす角をθとおく．
\frac{2(\mathbf{a},\mathbf{b})}{(\mathbf{b},\mathbf{b})}=\frac{2a\cos\theta}{b}
が整数であり，同様に\frac{2b\cos\theta}{a}が整数なので積の4\cos^2\thetaも整数．
これより\cos^2\theta=0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1．
つまり\cos\theta=0,\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm\frac{\sqrt{3}}{2},\pm1なので示された．
2.
(i)0°のとき
\frac{2a}{b}, \frac{2b}{a}が整数でこれらの積は4なので\frac{2a}{b}は4の約数．
つまりa:b=1:2,1:1,2:1．
(ii)30°のとき
\frac{\sqrt{3}a}{b}, \frac{\sqrt{3}b}{a}が整数でこれらの積は4なので\frac{\sqrt{3}a}{b}は3の約数．
つまりa:b=1:\sqrt{3},\sqrt{3}:1.
(iii)60°のとき
\frac{a}{b}, \frac{b}{a}が整数でこれらの積は1なので\frac{a}{b}は1の約数．
つまりa:b=1:1
3.
省略
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最終更新：2013年09月19日 21:15