k79s2

f(x)=1+2\cos x+3\sin xとする.全てのxに対してaf(x)+bf(x-c)=1が成り立つように,定数a,b,cを定めよ.

g(x)=af(x)+bf(x-c)-1とおくとg(x)=0.
したがって0=g''(x)+g(x)=a+b-1なのでa+b=1.
2\cos x+3\sin x = \sqrt{13}\sin(x+\theta)と書ける.
g(x)=0よりa\sqrt{13}\sin(x+\theta)=-b\sqrt{13}\sin(x+\theta-c)
g'(x)=0よりa\sqrt{13}\cos(x+\theta)=-b\sqrt{13}\cos(x+\theta-c),
両辺を平方して和を取ると13a^2=13b^2.したがってa=b=\frac{1}{2}
このとき,
0=g(x)=\frac{1}{2}\sin(x+\theta)+\frac{1}{2}\sin(x+\theta-c)=\cos(x+\theta-\frac{c}{2})\cos(\frac{c}{2})
なのでc=(2n+1)π (n:整数)が必要十分.
以上より(a,b,c)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},(2n+1)\pi)
最終更新:2013年09月19日 23:48