大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k79s1

次の条件をみたしていて，かつ最高次の係数が1であるxの整式P_1(x), P_2(x), P_3(x)を求めよ．
1. P_1(x)は1次式であって，どんな定数Cに対しても
\int_{-1}^{1}P_1(x)C dx = 0
2. P_2(x)は2次式であって，1次以下のどんな整式f(x)に対しても
\int_{-1}^{1}P_2(x)f(x) dx = 0
2. P_3(x)は3次式であって，2次以下のどんな整式f(x)に対しても
\int_{-1}^{1}P_3(x)f(x) dx = 0
\int_{-1}^{1}x^{2n}dx=\frac{2}{2n+1}，\int_{-1}^{1}x^{2n+1} dx=0 (n:整数)である．
1.
P_1(x)=x+aとおく．
0=\int_{-1}^{1}(x+a)C dx = 2aCよりa=0．
2.
P_2(x)=x^2+bx+aとおく．
f(x)=xの場合を考えると
0=\int_{-1}^{1}(x^2+bx+a)x dx = b\int_{-1}^{1}x^2dxよりb=0．
このとき，f(x)=kx+lとおくと
\int_{-1}^{1}(x^2+a)(kx+l) dx =\int_{-1}^{1}(x^2+a)l dx =l(\frac{2}{3}+2a)よりa=-\frac{1}{3}．
したがってP_2(x)=x^2-\frac{1}{3}．
以上よりP_2(x)=x^2-\frac{1}{3}．
このとき，f(x)=lx+kとおくと\int_{-1}^{1}P_2(x)f(x)=\int_{-1}^{1}P_2(x)lx+\int_{-1}^{1}P_2(x)k=0+0=0より十分．
3.
P_3(x)=x^3+cx^2+bx+aとおく．
f(x)=cx^2+aの場合を考えると，
0=\int_{-1}^{1}(x^3+cx^2+bx+a)(cx^2+a)dx=\int_{-1}^{1}(cx^2+a)^2dxよりcx^2+a=0つまりc=a=0．
このとき，f(x)=mx^2+kx+lとおくと，
0=\int_{-1}^{1}(x^3+bx)(mx^2+kx+l)dx =\int_{-1}^{1}(x^3+bx)kx dx =k(\frac{2}{5}+\frac{2b}{3})よりb=-\frac{3}{5}．
したがってP_3(x)=x^3-\frac{3}{5}x．
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最終更新：2013年09月20日 00:36