k79s3

1.変数tがt>0の範囲を動くとき
$f(t)=\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}+\sqrt{t+\frac{1}{t} +1}$ ,
$g(t)=\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}-\sqrt{t+\frac{1}{t} +1}$
について，f(t)の最小値は $2+\sqrt{3}$ ，g(t)の最大値は $2-\sqrt{3}$ であることを示せ．
2. 略

1.
t>0より，相加平均と相乗平均の関係から $\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}\geq 2$ , $t+\frac{1}{t}\geq 2$ なので
$f(t)\geq2+\sqrt{3}$ (等号成立はt=1)よりf(t)の最小値は $2+\sqrt{3}$ ．
$f(t)g(t)=(\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}})^2-(t+\frac{1}{t} +1)=1$ ．
f(t)>0なので $g(t)=\frac{1}{f(t)}$ はf(t)が最小のときに最大となり，その値は $\frac{1}{f(1)}=2-\sqrt{3}$ ．
2. 略

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最終更新：2013年09月20日 00:48

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