大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k80s3

空間の3点A,B,Cの組で，次の条件を満たすものを考える．
① A,B,Cは平面x+y+z=1上にある
② Aの座標が(l,m,n)であれば，B,Cの座標はそれほれ(m,n,l),(n,l,m)である．
③ ベクトル\vec{OA},\vec{OB}は直交する (ただし, O=(0,0,0))．
このとき，そのようなA,B,Cのとり方に関せず，次の三つが成り立つことを示せ．
1. A,B,Cは定円上にある．
2. 四面体OABCの体積は一定である．
3. BC,CA,AB,OA,OB,OCの中点をそれぞれL,M,N,P,Q,Rとすれば6点L,M,N,P,Q,Rは定球面上にある．
1.
Aの座標(l,m,n)とする．このときl+m+n=1，0=\vec{OA}\cdot\vec{OB}=lm+mn+nl.
したがって|\vec{OA}|^2=l^2+m^2+n^2=(l+m+n)^2-2(lm+mn+nl)=1でB,Cについても同様なので
A,B,Cは定球面を平面x+y+z=1で切った断面の周上にあるがこれは定円である．
2.
\vec{OB}\cdot\vec{OC}=mn+nl+lm=0なので\vec{OB},\vec{OC}は直交する．\vec{OA},\vec{OC}も同様．
したがって，四面体の体積は\frac{1}{6}|\vec{OA}||\vec{OB}||\vec{OC}|=\frac{1}{6}となり一定．
3.
点P(\frac14,\frac14,\frac14)とおくと\vec{OP}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{4}．
\vec{OL}=\frac{\vec{OA}}{2}なので
|\vec{LP}|^2=|\frac{-\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{4}|^2=\frac{1}{16}(|\vec{OA}|^2+|\vec{OB}|^2+|\vec{OC}|^2)=\frac{3}{16}.
同様にM,N,P,Q,Rも点Pを中心とする半径\frac{\sqrt{3}}{4}の球面上にあることがいえる．
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最終更新：2013年09月20日 17:45