k85s1

実数p,q(q>0)に対して，下の2条件①，②を満たす三角形ABCが存在するための必要十分条件を求めよ．
① $\vec{BC}=q$ ② $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=p$
ただし， $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ は $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の内積をあらわす．

$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{0}$ のとき三角形にならないので不可．
したがって $0<|\vec{AB}+\vec{BC}|^2=|\vec{AB}-\vec{BC}|^2+4\vec{AB}\cdot\vec{AC}=q^2+4p$ が必要．
特に，AB=BCの場合を考えると $q^2=|\vec{AB}-\vec{BC}|^2=2|\vec{AB}|^2-2p$ ．
つまり $|\vec{AB}|=\sqrt{\frac{q^2+2p}{2}}$ ．
ここで逆に， $q^2+4p&gt;0$ のとき，
$(2\sqrt{\frac{q^2+2p}{2}})^2-q^2=q^2+4p>0$ だから $2\sqrt{\frac{q^2+2p}{2}}>q$ より
底辺がq,等辺が $\sqrt{\frac{q^2+2p}{2}}$ である二等辺三角形が存在し，二等辺三角形の頂点をA，残りの頂点をB,Cとおくと
$|\vec{BC}|=q$ ．
$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\frac{1}{2}(|\vec{AB}|^2+|\vec{AC}|^2-|\vec{AB}-\vec{AC}|^2)=p$
となるので，求める必要十分条件は $q^2+4p&gt;0$ ．

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最終更新：2013年09月22日 18:16

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