大学入試数学過去問
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k85s2

平面上の3点A,B,Cと一次変換fについて，下の3条件①，②，③を仮定する．
①A,B,Cは同一直線上にはなく，また原点Oは三角形ABCの内部には属さない．
②3点A,B,Cのfによる像は，全体として3点A,B,Cに一致する．すなわち{f(A),f(B),f(C)}={A,B,C}
③fは恒等変換ではない，すなわちf≠E
このとき，3点A,B,Cのうちfによって動かないものは，1つあって，1つに限ることを示せ．
単位行列をI，変換行列をM，\vec{a}=\vec{OA},\vec{b}=\vec{OB},\vec{c}=\vec{OC}とおく．
3点A,B,Cのうちfによって動かないものが1つのみでないとして矛盾を導く．
[1] 動かないものが2つ以上のとき
f(P)=P (P=A,B,C)であり，
M\vec{p}=\vec{p}⇔(M-I)\vec{p}=\vec{0} (\vec{p}=\vec{a},\vec{b},\vec{c})であるが，
\vec{a},\vec{b},\vec{c}のうち2つ一次独立のものをとれるのでM=Iとなり③に反する
[2] 動かないものがないとき
f(A)=B,f(B)=C,f(C)=A or f(A)=C,f(B)=A,f(C)=B．
f(f(f(P)))=P (P=A,B,C)なので，(i)と同様にM^3=I．
ケーリーハミルトンの定理よりM^2-tM+dI=0と書け，その左辺でM^3-Iを割った余りはMの1次以下の式kM+lIとなる．
(i)k≠0のとき
M=\frac{l}{k}IでM^3=IよりM=Iとなるので③に反する
(ii)k=0のとき
l=0であるからM^3-I=(M-I)(M^2+M+I)はM^2-tM+dIで割り切れる．したがってM^2+M+I=0．
このとき\vec{0}=(M^2+M+I)\vec{a}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}なので
\vec{AO}=\frac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC})よりOが三角形ABCの内部にあることになり①に反する．
以上より示された．
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最終更新：2013年09月23日 02:41