大学入試数学過去問
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k85s4

実数r(r>0)に対して，下の方程式①の定める球面と，②の定める平面の共通部分をDとする．
① x^2+y^2+z^2=\frac{1}{3}(r^2+2) ② x+y+z=r
(1)点P,QがともにDに属すれば，|\vec{PQ}\leq2\sqrt{\frac23}が成り立つことを示せ．
(2)rが自然数のとき，連立方程式①，②の整数解を決定せよ．
(1)
点R(\frac{r}{3},\frac{r}{3},\frac{r}{3})を考えると，これは②上にあり，①の球の内部にある．
D上の点P(x,y,z)を考えると，|\vec{RP}|^2=x^2+y^2+z^2-\frac{2r}{3}(x+y+z)+\frac{3r^2}{3^2}=\frac{2}{3}より|\vec{RP}|=\sqrt{\frac23}．
同様にD上の点Qについても|\vec{RQ}|=\sqrt{\frac23}．
これより|\vec{PQ}|=|\vec{RQ}-\vec{RP}|\leq|\vec{RQ}|+|\vec{RP}|=2\sqrt{\frac23}．
(2)
あるrについて(x,y,z)が連立方程式①，②の整数解のとき，(y,z,x)も解となる．
(1)より|\vec{PQ}|<\sqrt{3}であるから(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2<3．
x=y=zの場合は解にならないことに注意すると，解は(n,n,n±1)ないしその順番を入れ替えたものであることが必要．
このとき②よりr=3n±1となり，①も成立する．
したがって，r=3n±1のとき，(n,n,n±1)ないしその順番を入れ替えたものが求める整数解となる．
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最終更新：2013年09月23日 03:07