大学入試数学過去問
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k85s6

定数a(a≧0)およびbが与えられている．x≧0で定義された関数y=f(x)で，下の2条件①，②を満たすものを決定せよ．
①f(x)はx≧0で連続，x>0で微分可能
②b\int\nolimits_a^xf(t)dt=xf(x)
b=0のとき，f(x)=0．以下，b≠0とする．
②の両辺を微分してbf(x)=f(x)+xf'(x)．これより\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{b-1}{x}．
両辺積分してexpをとるとf(x)=e^Cx^{b-1} (C:積分定数)．
これを②に代入して\frac{e^C}{b}(x^b-a^b)=e^Cx^b．
これが成立するのは(a,b)=(0,1)のとき．このときf(x)=k (k>0:定数)．
以上をまとめて，b=0のときf(x)=0，(a,b)=(0,1)のときf(x)=k (k>0:定数)．
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最終更新：2013年09月23日 03:50