k86s1

すべては0でないn個の実数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ があり， $a_1\leq a_2\leq \cdots\leq a_n$ かつ $a_1+ a_2+ \cdots+ a_n=0$ を満たすとき， $a_1+ 2a_2+ \cdots+ na_n>0$ が成り立つことを証明せよ．

$a_n\geq \frac1n(a_1+ a_2+ \cdots+ a_n)=0$ ．等号成立は $a_k=a_n$ (k=1,2,…,n-1)であり，このとき全て0となるので不適．
つまり $a_n&gt;0$ ．
また， $a_1\leq \frac1n(a_1+ a_2+ \cdots+ a_n)=0$ ．
ここで「 $a_k\leq0$ ならば $a_{k+1}\leq0$ (k=1,2,…,n-1)」と仮定すると，数学的帰納法により $a_n\leq0$ となり不適．
従って， $a_j\leq0<a_{j+1}$ となるj (1≦j≦n-1)が存在する．
このとき，k≦jのとき $a_k\leq a_j\leq 0$ ，j<kのとき $a_k\geq a_{j+1}>0$ なので
$$a_1+ 2a_2+ \cdots+ na_n=$a_1+ 2a_2+ \cdots+ na_n-j(a_1+ a_2+ \cdots+ a_n)=-((j-1)a_1+ (j-2)a_2+ \cdots a_{j-1})+(a_{j+1}+2a_{j+2}+\cdots+(n-j)a_n)>0$$

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最終更新：2013年09月24日 03:01

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