大学入試数学過去問
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k86s2

座標空間において，平面z=1上に一辺の長さが1の正三角形ABCがある．点A,B,Cから平面z=0におろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとする．動点PはAからBの方向へ出発し，一定の速さで△ABCの周を一周する．動点Qは同時にEからFの方向へ出発し，Pと同じ一定の速さで△DEFの周を一周する．線分PQが通過してできる曲面と△ABC，△DEFによって囲まれる立体をVとする．
(1) 平面z=a(0≦a≦1)によるVの切り口はどのような図形か．
(2) Vの体積を求めよ．
(1)
点A,B,C,P,Qから平面z=aにおろした垂線の足をそれぞれG,H,I,R,Sとおき，PQと平面z=aの交点をTとおく．
点PがAB上にあり，AP=bとなる時を考える．
GR=HS=bであり，△PRT∽△QSTよりRT:TS=(1-a):aであるから，
\vec{HT}=a\vec{HR}+(1-a)\vec{HS}=a(1-b)\vec{HG}+(1-a)b\vec{HI}=(1-b)\vec{HJ}+b\vec{HK}．
ただし，点J,Kは\vec{HJ}=a\vec{HG},\vec{HK}=(1-a)\vec{HI}を満たす点．
これより，bが0から1まで変化するとき，Tは線分JK上を端から端まで移動する．
JK^2=HJ^2+HK^2-2HJ\cdot HK\cos\frac{\pi}{3}=a^2+(1-a)^2-a(1-a)=3a^2-3a+1．
PがBC，CA上にあるときも同様に考えると，Tの軌跡つまりVの切り口は一辺\sqrt{3a^2-3a+1}の正三角形．
(2)
平面z=aによるVの切り口の面積は\frac{\sqrt3}{4}(3a^2-3a+1)であるから，求める体積は
\int_0^1\frac{\sqrt3}{4}(3a^2-3a+1)da =\frac{\sqrt3}{4}[a^3-\frac{3a^2}{2}+a]_0^1=\frac{\sqrt3}{8}.
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最終更新：2013年09月24日 03:39