大学入試数学過去問
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k86s3

座標平面の原点をOとし，\vec{OA}={1\choose1},\vec{OB}={1\choose-1}とする．また，α，βは2つの実数とする．任意の点Pに対し，ベクトル\vec{OP}の\vec{OA}への正射影を\vec{OP_1}(すなわち点P_1はPからOとAを通る直線へおろした垂線の足)，\vec{OP}の\vec{OB}への正射影を\vec{OP_2}とし，1次変換f_{\alpha,\beta}をf_{\alpha,\beta}(\vec{OP})=\alpha\vec{OP_1}+\beta\vec{OP_2}をによって定める．
1次変換gがどのようなα，βに対してもf_{\alpha,\beta}\circ g=g\circ f_{\alpha,\beta}(\circは変換の合成を表す)となるための必要十分条件は，あるα'，β'に対してg=f_{\alpha',\beta'}となることである．これを証明せよ．
必要性
α=1，β=0，P=Bを代入して
f_{1,0}\circ g(\vec{OB})=g\circ f_{1,0}(\vec{OB})=g(\vec{0})=\vec{0}.
これが成立するには，ある実数β'が存在してg(\vec{OB})=\beta'\vec{OB}と書けることが必要．
同様にある実数α'が存在してg(\vec{OA})=\alpha'\vec{OA}と書けることも必要．
このとき，任意の点Pはある実数s,tが存在し\vec{OP}=s\vec{OA}+t\vec{OB}と書け，
\vec{OP_1}=s\vec{OA},\vec{OP_2}=t\vec{OB}となる(∵\vec{OA}\cdot\vec{OB}=0)．
従ってg(\vec{OP})=sg(\vec{OA})+tg(\vec{OB})=s\alpha'\vec{OA}+t\beta'\vec{OB}=\alpha'\vec{OP_1}+\beta'\vec{OP_2}=f_{\alpha',\beta'}(\vec{OP})となるのでg=f_{\alpha',\beta'}．
十分性
g=f_{\alpha',\beta'}のとき，
f_{\alpha',\beta'}\circ f_{\alpha,\beta}(\vec{OP})=f_{\alpha',\beta'}(\alpha\vec{OP_1}+\beta\vec{OP_2})=\alpha\alpha'\vec{OP_1}+\beta\beta'\vec{OP_2}．
同様にf_{\alpha,\beta}\circ f_{\alpha',\beta'}(\vec{OP})=\alpha\alpha'\vec{OP_1}+\beta\beta'\vec{OP_2}なので，f_{\alpha,\beta}\circ g=g\circ f_{\alpha,\beta}．
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最終更新：2013年09月26日 03:41