同一平面上に2つの三角形△ABC，△A'B'C'があり，それぞれの外接円の半径はともに1であるとする．この2つの外接円の中心が結ぶ線分の中点をM，線分AA'，BB'，CC'の中点をそれぞれP,Q,Rとする．
(1)MP≦1，MQ≦1，MR≦1となることを示せ．
(2)もし△PQRが鋭角三角形でその外接円の半径が1となるならば，点Mはこの外接円の中心と一致することを示せ．さらにこのとき△ABC，△A'B'C'，△PQRはすべて合同となることを示せ．
(1)
△ABC,△A'B'C'の外接円の中心をそれぞれO，O'とする．
であり
なので
．
このとき，
(*)．
同様にMQ≦1，MR≦1となる．
(2)
MからPQに下ろした垂線の足をH，∠PMH=α，∠QMH=β，∠PMQ=θとおく．
△PQRの外接円の中心をN，∠PNQ=φとおくと，
．これよりφ≦θ．
同様に∠QNR≦∠QMR，∠RNP≦∠RMPであり，
△PQRは鋭角三角形なので外心はその内部にあるから∠PNQ+∠QNR+∠RNP=2π．
これより2π≦∠PMQ+∠QMR+∠RMPとなるが，これが成立するのは2π=∠PMQ+∠PMQ+∠RMPのとき．
このときMP=MQ=MR=1となるのでMは外接円の中心となる．
さらに，(*)の等号が成立するので
と
は同じ向き．つまり
．
また，
．
同様に
,
なので△ABC≡△A'B'C'≡△PQR．
最終更新：2013年09月26日 03:39
