大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k86s5

n個のサイコロを同時にふり，出た目の数のうち最大のものをM_n，最小のものをm_nとする．
(1)1≦i≦j≦6を満たす整数i,jに対して，M_n=jかつm_n=iとなる確率P(M_n=j,m_n=i)をm,i,jで表せ．
(2)\lim_{n\to\infty}E(\frac{M_n}{m_n})および\lim_{n\to\infty}V(\frac{M_n}{m_n})を求めよ．
(一般に確率変数Xに対してE(X)はその平均，V(X)はその分散を表す．)
(1)
(i) i=jのとき
iしか出ない確率なのでP(M_n=j,m_n=i)=(\frac{1}{6})^n
(ii) i=j-1 のとき
P(M_n=j,m_n=i)=P(M_n\leq j ,m_n\geq i)-P(M_n\leq j-1,m_n\geq i) - P(M_n\leq j,m_n\geq i+1) = (\frac{1}{3})^n-2(\frac16)^n
(iii) i<j-1 のとき
P(M_n=j,m_n=i)
=P(M_n\leq j ,m_n\geq i)-P(M_n\leq j-1,m_n\geq i) - P(M_n\leq j,m_n\geq i+1) + P(M_n\leq j-1,m_n\geq i+1)
=(\frac{j-i+1}{6})^n-2(\frac{j-i}{6})^n+(\frac{j-i-1}{6})^n
(2)
\frac{M_n}{m_n}\leq6なのでE(\frac{M_n}{m_n})\leq 6，E((\frac{M_n}{m_n})^2)\leq 36，
P(M_n=6,m_n=1)=1-2(\frac56)^n+(\frac23)^nなので，
E(\frac{M_n}{m_n})\geq \frac61P(M_n=6,m_n=1) \to 6 (n\to\infty)，
E((\frac{M_n}{m_n})^2)\geq (\frac61)^2P(M_n=6,m_n=1) \to 36 (n\to\infty)．
はさみうちの原理より\lim_{n\to\infty}E(\frac{M_n}{m_n})=6，\lim_{n\to\infty}E((\frac{M_n}{m_n})^2)=36．
また，\lim_{n\to\infty}V(\frac{M_n}{m_n})=36-6^2=0
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最終更新：2013年09月26日 12:52