大学入試数学過去問
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k86s6

0<r<1となる実数rに対し，点O=(0,0)を中心とし半径がrの円をCとする．円C'は中心がO'=(1,0)で円Cと異なる2点P,Qで交わり，OP⊥O'Pとなるものとする．円Cの内部をD，円C'の内部をD'，四辺形OPO'Qの内部をD"と表す．rを0<r<1の範囲で変化させるとき，D''から交わりD∩D'を除いた部分の面積の最大値を求めよ．
∠O'OP=θとおく．OP=cosθ，O'P=sinθ，OP⊥OP'より∠OO'P=\frac{\pi}{2}-\theta．
扇型OPQの面積は\theta\cos^2\theta，扇型O'PQの面積は(\frac{\pi}{2}-\theta)\sin^2\theta，四辺形OPO'Qの面積は\sin\theta\cos\theta．
(D''から交わりD∩D'を除いた部分の面積)=2(四辺形OPO'Qの面積)-(扇型OPQの面積)-(扇型O'PQの面積)=2\sin\theta\cos\theta-(\theta\sin^2\phi+\phi\sin^2\theta)
=\sin2\theta-(\theta-\frac{\pi}{4})\cos2\theta-\frac{\pi}{4}
=f(\theta)とおく．
f&#039;(\theta)=\cos2\theta+(2\theta-\frac{\pi}{2})\sin2\theta
f&#039;&#039;(\theta)=(4\theta-\pi)\cos2\theta\leq 0，等号成立は\theta=\frac{\pi}{4}．
f&#039;(\frac{\pi}{4})=0なので，f(\theta)は\theta=\frac{\pi}{4}で最大値f(\frac{\pi}{4})=1-\frac{\pi}{4}をとる．
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最終更新：2013年09月27日 15:26