大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k87s2

定数a,p,qに対して，次のようにx_n,y_nの列を作る．
{x_1\choose y_1}={p\choose q}, {x_{n+1}\choose y_{n+1}}=\begin{pmatrix}1-a & -1-a\\ -1+a&-1+a\end{pmatrix}{x_n\choose y_n}
(1)x_2,y_2,x_3,y_3を求めよ．
(2)\frac12<a<\frac32のとき，\lim_{n\to\infty}x_n,\lim_{n\to\infty}y_nを求めよ．
(1)
x_2=(1-a)p-(1+a)q,y_2=(-1+a)p+(-1+a)q．
A=\begin{pmatrix}1-a& -1-a\\-1+a& -1+a\end{pmatrix}とおくと，A^2=2(1-a)E．
従って
{x_{3}\choose y_{3}}=A^2{x_1\choose y_1}={2(1-a)p\choose 2(1-a)q}
(2)
|2(1-a)|<1なので，m=[\frac{n-1}2]とおくと
{x_{n}\choose y_{n}}=A^{n-1-2m}A^{2m}{x_1\choose y_1}=(2(1-a))^mA^{n-1-2m}{p\choose q}\to{0\choose0} (n\to\infty)．
つまり\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=0
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最終更新：2013年09月27日 16:13