k87s3

不等式 $a\cos2\theta+b\cos\theta<1$ がすべての実数 $\theta$ について成り立つような点(a,b)の範囲を図示せよ．

cosθ=xとおく．-1≦x≦1で $2ax^2+bx-a&lt;1$ が成立する(a,b)の条件を求めれば良い．
$f(x)=2ax^2+bx-a$ とおく．
$f(x)=2a(x+\frac{b}{4a})^2-\frac{b^2}{8a}-a$ ．
(i)a<0かつ $|\frac{b}{4a}|\leq1$ のとき
f(x)の最大値は $-\frac{b^2}{8a}-a$ であり，これが1未満であることが条件．
整理すると $b^2+8(a+\frac12)^2<2$ であり，
これは長さ1の短軸がa軸上に，長さ $2\sqrt2$ の長軸が $a=\frac12$ 上にある楕円の内部．
また，この楕円と $|\frac{b}{4a}|=1$ の交点は(0,0)と $(-\frac13,\pm\frac43)$ ．
(ii) (i)以外のとき
f(x)の最大値はmax{f(-1),f(1)}=max{a+b,a-b}．これより求める条件はa+b<1かつa-b<1．
また，直線a±b=1と ${b}=\mp{4a}$ の交点は $(-\frac13,\pm\frac43)$ ．

(i)(ii)を合わせると，
求める領域は，楕円 $b^2+8(a+\frac12)^2=2$ の $-1\leq a\leq-\frac13$ の部分と，直線a±b=1の $-\frac13\leq a\leq1$ の部分で囲まれる領域．(図省略)

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最終更新：2013年09月28日 23:22

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