大学入試数学過去問
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k87s4

3次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+c(a,b,cは定数)のグラフy=f(x)と，定数mを考える．
(1) このグラフの接線で傾きmのものは何本あるか．
(2) 傾きmの接線が2本ある場合について，その接線l_1,l_2の接点をP_1,P_2とし，l_1,l_2がグラフと交わる他の点をP_1,Q_2とすれば，P_1Q_1=P_2Q_2であることを示せ．
(1)
接線の本数はm=f'(x)=3x^2+2ax+bの解の個数と同じ．
3x^2+2ax+b-m=0の判別式をDとおくと\frac{D}4=a^2-3(b-m)．
これより，m<b-\frac{a^2}3のとき0本，m=b-\frac{a^2}3のとき1本，m>b-\frac{a^2}3のとき2本．
(2)
P_n，Q_nのx座標をp_n,q_n，l_nの式をy=mx+d_nとおく(n=1,2)．
f(x)-(mx+d_n)=x^3+ax^2+(b-m)x+c-d_n．
f(x)-(mx+d_n)=0の根がp_n(重根),q_nなので，根と係数の関係からa=-(2p_n+q_n)，b-m=p_n^2+2p_nq_n．
これより，a^2-3(b-m)=(p_n-q_n)^2となるのでP_1Q_1とP_2Q_2をx軸に射影した長さはそれぞれ等しい．
ここでl_1とl_2の傾きが等しいので，P_1Q_1=P_2Q_2
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最終更新：2013年09月29日 00:23