RPiA CHAPTER 6

6.1 TOTAL EMITTED POWER

[(6.1a)について]
電場 $e\cdot\mathbf{E}$ の項がないのは、そういう座標系を選んだからだと思われる。

6.2 SPECTRUM OF SYNCHROTRON RADIATION: A QUALITATIVE DISCUSSION

[(6.18)について]
係数は、以降で説明される。

6.3 SPECTRAL INDEX FOR POWER-LAW ELECTRON DISTRIBUTION

[(6.21b)の導出]
$x = \frac{\omega}{\omega_c} \propto \gamma^{-2}\omega$
より、
$dx \propto \omega \gamma^{-3} d\gamma$
また、
$\gamma \propto \left(\frac{\omega}{x}\right)^{1/2}$
だから、
$P_{tot}(\omega ) = \int_{\gamma_1}^{\gamma_2} F\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right) \gamma^{-p}d\gamma$
$\quad \propto \int_{x_1}^{x_2} F(x) \left(\frac{\omega}{x}\right)^{-p/2}\left(-\frac{1}{2\omega}\right)\left(\frac{\omega}{x}\right)^{3/2}dx$
$\quad \propto \omega^{-(p-1)/2}\int_{x_1}^{x_2}F(x)x^{(p-3)/2}dx$
となる。

6.4 SPECTRUM AND POLARIZATION OFF SYNCHROTRON RADIATION: A DETAILED DISCUSSION

[(6.23)の導出]
$\mathbf{\beta} = \frac{\mathbf{v}}{c} = \frac{v}{c}\left(\cos\left(\frac{vt^{\prime}}{a}\right)\hat{x} + \sin\left(\frac{vt^{\prime}}{a}\right)\hat{y}\right)$
から、ベクトル計算して、 $|\beta| = 1$ とすればわかる。

[(6.24)の導出]
$\mathbf{n}=(\cos\theta , 0, \sin\theta )$
$\mathbf{r}(t^{\prime}) = (a\sin\left(\frac{vt^{\prime}}{a}\right), 1 - a\cos\left(\frac{vt^{\prime}}{a}\right), 0)$
より、第一等号が導ける。

さらに計算すると、
$t^{\prime} - \frac{a}{c}\cos\theta\sin\left(\frac{vt^{\prime}}{a}\right)$
$\quad = t^{\prime} - \frac{a}{c}\left[\left(1-\frac{1}{2}\theta^2\right)\left(\left(\frac{vt^{\prime}}{a}\right) - \frac{1}{3!}\left(\frac{vt^{\prime}}{a}\right)^3\right)\right]$
$\quad = t^{\prime} - \frac{a}{c}\left[\left(\frac{vt^{\prime}}{a}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{vt^{\prime}}{a}\right)\theta^2-\frac{1}{3!}\left(\frac{vt^{\prime}}{a}\right)^3\right]$
$\quad = \left(1-\frac{v}{c}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{v}{c}\right)\theta^2t^{\prime} + \frac{1}{6}\frac{v}{c}\left(\frac{v}{a}\right)^2t^{\prime3}$
となり、 $v=c$ とセットすると、第二等号が得られる。

[(6.29)の導出]
$K_{1/3}(\xi ) = \pi\sqrt{\frac{3}{z}}Ai(z) \tag{10.4.26}$
$K_{2/3}(\xi ) = -\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{z}\right)Ai^{\prime}(z) \tag{10.4.31}$
ただし、 $z \equiv \left(\frac{3}{2}\xi\right)^{2/3}$
また、
$(3a)^{-1/3} \pi Ai [(3a)^{1/3}x] = \int_0^{\infty} \cos (at^3+xt) dt \tag{10.4.32}$
で、これをxで微分すると、
$(3a)^{-2/3}\pi Ai^{\prime} [(3a)^{1/3}x] = - \int_0^{\infty} t\sin (at^3+xt)dt \tag{A}$
すると、絶対値内の積分は、
$\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left[ \frac{3}{2}i\eta \left(y+\frac{1}{3}y^3\right) \right]$
$= \int_{-\infty}^{\infty} \cos\left[ \frac{3}{2}i\eta \left(y+\frac{1}{3}y^3\right) \right] + i\int_{-\infty}^{\infty} \sin\left[ \frac{3}{2}i\eta \left(y+\frac{1}{3}y^3\right) \right]$
$= 2\int_0^{\infty} \cos \left[\frac{3}{2}\eta \left(y\frac{1}{3}y^3\right)\right]dy$
(10.4.32)で $x=\frac{3}{2}\eta$ , $a=\frac{1}{2}\eta$ としたものであるから、
$= 2\left(\frac{3}{2}\eta\right)^{-1/3}\pi Ai \left[\left(\frac{3}{2}\eta\right)^{-1/3}\frac{3}{2}\eta\right]$
$= 2\left(\frac{3}{2}\eta\right)^{-1/3}\sqrt{\frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\eta\right)^{2/3}} K_{1/3}(\eta )$
$$= \frac{2}{\sqrt{3}}K_{1/3}(\eta)

また、
$\int_{-\infty}^{\infty} y\exp\left[ \frac{3}{2}i\eta \left(y+\frac{1}{3}y^3\right) \right]$
$= \int_{-\infty}^{\infty} y\cos\left[ \frac{3}{2}i\eta \left(y+\frac{1}{3}y^3\right) \right] + i\int_{-\infty}^{\infty} y\sin\left[ \frac{3}{2}i\eta \left(y+\frac{1}{3}y^3\right) \right]$
$= 2i\int_0^{\infty} y\sin \left[\frac{3}{2}\eta \left(y\frac{1}{3}y^3\right)\right]dy$
(A)で $x=\frac{3}{2}\eta$ , $a=\frac{1}{2}\eta$ としたものであるから、
$= -2i \left(\frac{3}{2}\eta \right)^{-2/3}\pi Ai^{\prime}\left[\left(\frac{3}{2}\eta\right)^{-1/3}\frac{3}{2}\eta\right]$
$= -2i \left(\frac{3}{2}\eta \right)^{-2/3}\pi Ai^{\prime}\left[\left(\frac{3}{2}\eta\right)^{2/3}\right]$
$= 2i\left(\frac{3}{2}\eta \right)^{-2/3} \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{3}{2}\eta \right)^{2/3}K_{2/3}(\eta )$
$= \frac{2}{\sqrt{3}}iK_{2/3}(\eta )$

これらを代入して、求まる。

[(6.31)-(6.35)の導出]
結構面倒。
Westfold(1959)を後で見てみよう。

6.5 POLARIZATION OF SYNCHROTRON RADIATION

この辺も継続してよくわからんな。
$F(x),G(x)$ の形がわからんからな。

6.6 TRANSITION FROM CYCLOTRON TO SYNCHROTRON EMISSION

読み物なので、特になし

6.7 DISTINCTION BETWEEN RECEIVED AND EMITTED POWER

(6.40)の、 $\sin\alpha$ の修正は、天文学の範囲では考慮するほどでもないらしい。
が、心に留めておくとよいであろうな。

6.8 SYNCHROTRON SELF-ABSORPTION

§1.6で行ったEinstein係数の議論を、連続的な状態に一般化する。
自由粒子の状態は、モーメント、位置、内部状態で決められる。
粒子の一つの状態は、位相空間体積 $h^3$ 内の遷移自由度に関連する。

さらに、光子エネルギーに対して、同じ差のある状態間での遷移はたくさんある。
(1.75)[(1.74)じゃないよね]で行った、吸収係数の公式で、全ての上位状態２と下位状態１について和を取る必要がある。
$\alpha_{\nu} = \frac{h\nu}{4\pi}\sum_{E_1}\sum_{E_2}[n(E_1)B_{12} - n(E_2)B_{21}]\phi_{21}(\nu )$

[誤植]
p187の最初の(1.74)も(1.75)。
(6.42)のあとの(1.71b)は(1.72b)。

[(6.49)の導出]
$N(E_2)dE_2 = f(p_2)4\pi p_2^2 dp_2 = f(p_2)p_2^2 d^3p_2$
$N(E_2-h\nu )dE_2 = f(p_2^*)4\pi (p_2-h\nu /c)^2d p_2$
$\quad = f(p_2^*)4\pi \frac{(p_2-h\nu /c)^2}{p_2^2}p_2^2 dp_2$
$$\quad = f(p_2^*) \frac{(E_2-h\nu)^2}{E_2^2} d^3p_2
これらを利用して、(6.46)を書き換えると、得られる。

[(6.50)の導出]
$g(E)=\frac{N(E)}{E^2}$ とすれば、 $g(E-h\nu )-g(E)$ の項が出るので、 $-h\nu$ をくくり出すと、 $h\nu \ll E$ より、微分になる。

6.9 THE IMPOSSIBILITY OF A SYNCHROTRON MASER IN VACUUM

F(x)とG(x)はやらないと完璧にはわからんな。

「RPiA CHAPTER 6」をウィキ内検索

最終更新：2013年03月03日 04:49

みなのお勉強の部屋

メニュー

リンク

他のサービス

更新履歴

RPiA CHAPTER 6