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Ivezic&Elitzur, MNRAS,287,799(1997)

  • ABSTRACT
Rowan-Robinsonが球状の天体について発見したダストの再放射の、scaling propertyについて様々な幾何について拡張した。scaling propertyとは、ダストのサイズは、生成されるIR放射には関係なく、関係するのは全体の\tau^T_{\lambda}、つまり光学的厚みのみである。すなわち、スケールに関して無関係であるということである。
そして、このことを利用することで、IRスペクトルのモデリングと分類に対してアプローチする。すなわち、グレインの光学的条件が与えられれば、SEDはダストの分布と光学的厚みによって決定される。

  • 1.INTRODUCTION
ダストの再放射は、これまで多くのパラメータを必要としており、パラメータ空間が大きすぎて、観測にフィッティングすることが難しかった。さらに、フィッティングできたとしても、それだけが答えであると確かめることは難しかった。
そこで、scaling propertyを用いて、パラメータを減らすことを考える。Rowan-Robinson(1988)(RR)は、最初に球状のダストについて、scalingについて言及した。彼の公式化ででは、全光度は放射輸送問題に関わってこず、late-type starに対しては、Ivezic&Elitzur 1995(IE95)で触れている。そこでは、ダストの光学的性質が与えられれば、周囲のシェルの力学とIR放射は全光学的厚みというひとつのパラメータで記述できる。これによって、late-type星に対するデータによって示される多くの関係を説明できる。ここでは、一般的なジオメトリーと密度分布に対して、scalingを応用する。

  • 2.GENERAL SCALING PROPERTIES
定常状態の放射輸送方程式は、
\frac{dI_{\lambda}}{dl} = \kappa_{\lambda} (S_{\lambda} - I_{\lambda})
である。
\kappa_{\lambda}は、波長\lambdaでの原稿であり、吸収と散乱に分けられる。つまり、\kappa_{\lambda} = \kappa_{a\lambda} \kappa_{s\lambda}とd\tau_{\lambda} = \kappa_{\lambda}dlである。また、ここでは、アルベド（反射率）として、\varpi = \kappa_{s\lambda}/\kappa_{\lambda}を用いる。また、入力として、S_{\lambda}(r)と\kappa_{\lambda}(r)を与える。方程式は、強度と長さの次元を持った量で作られているため、これらを無次元化することで、全体を無次元化する。

  • 2.1. Length-scales
まず、長さの次元を持った量について考える。すべての長さの量は、\tau_{\lambda}という無次元量に置き換えることができることを示す。必要な幾何学的性質は、角度の大きさと光学的厚みの空間変化である。
まず、r=(r,\theta,\phi)をy=r/r_1という無次元量によって、y=(y,\theta,\phi)と置き換える。

[(3)(4)式の導出]
(1)式でdl = r_1dyとすると、
\frac{dI_{\lambda}(y;{\cal P})}{dy} = r_1 \kappa_{\lambda}(y;{\cal P})[S_{\lambda}(y;{\cal P}) -I_{\lambda}(y;{\cal P})]
= r_1\int \kappa_{\lambda}dy\frac{\kappa_{\lambda}(y;{\cal P})}{\int \kappa_{\lambda}dy} [S_{\lambda}(y;{\cal P}) -I_{\lambda}(y;{\cal P})]
= \tau_{\lambda}^T({\cal P}) \eta (y;{\cal P})[S_{\lambda}(y;{\cal P}) -I_{\lambda}(y;{\cal P})]

ここで、\etaは、\lambdaに依存するが、吸収体が場所によって変化しなければ、\kappa_{\lambda}(y,{\cal P})= \sigma_{lambda}n_a(y)より、
\eta (y) = n_a(y)/\int n_a(y) dy
となり、規格化された吸収体密度分布となる。
さらに、吸収体のアバンダンスが変わらなければ、吸収体密度分布はそのまま密度分布となる。
\eta (y) = n(y)/\int n(y)dy

結果的に、r_1は、方程式に明らかに現れてないので、解には関係しない。
すると、(5)式が導けるために、放射輸送方程式は、scale-invariantである。
つまり、同じ光学的厚みとソースファンクションをの分布を持っていれば、スケールは関係しない。
そのため、実際のサイズを求めるためには、放射輸送以外の何らかの方法で求める必要がある。

これまでの考察から、
d\tau_{\lambda}(y;{\cal P}) =\tau_{\lambda}^T({\cal P})\eta (y;{\cal P})dy
\tau_{\lambda}(y;{\cal P}) =\tau_{\lambda}^T({\cal P})int^y \eta (u;{\cal P})du
となり、これは、どのようなジオメトリーに対しても成立する。
\etaは、ジオメトリーの形を示している。

  • 3 HEATED DUST

このinvariant性は、吸収係数が強度に依存していない場合に有用であるから、ここからはそのような場合を考える。
つまり、輝線や吸収線は考えないということであり、連続光にのみ使える。
ここでは、ダストを考えるので、輝線や吸収線は関係ない。

ソースファンクションが0であれば、一様な方程式によって放射輸送が記述できる。
しかし、0でなければ、一様ではなくなる。
ダスト媒体では、ソースファンクションは、
S_{\lambda} = (1-\varpi_{\lambda})B_{\lambda}(T) + \varpi_{\lambda}\int I_{\lambda}(\Omega^{\prime})g(\Omega^{\prime},\Omega ) \frac{d\Omega^{\prime}}{4\pi}
となる。

[(5)式の意味]
第一項は、ダスト温度Tを仮定した黒体放射の項で、反射されていない部分のソース。
第二項は、\Omega方向に散乱される放射の項で、反射された部分のソース。
第二項のせいで、ソースファンクションは、方向依存である。

グレインの単一タイプを仮定しているが、複数ミックスの場合をAppendix Aで議論されている。

(5)式の第二項は、散乱項であるが、I_{\lambda}に線形なので、scale-invariantが成り立つ。
B_{\lambda}(T)のみが、scale-invariantを壊す。

(7)式は、放射平衡を仮定してるので、S_{\lambda} = I_{\lambda}を使える。

$$q_{\lambda} = \frac{\kappa_{\lambda}}{\kappa_{\lambda 0}}
という量を導入する。これは、波長\lambda_0における吸収係数で規格化したものである。

[(9)式の導出]
(7)式を\kappa_{\lambda 0}で割って、(6)のソースファンクションを代入すると、
\int d\Omega \int q_{\lambda} [(1-\varpi )B_{\lambda}(T)+\varpi_{\lambda}\int I_{\lambda}(\Omega^{\prime})g(\Omega^{\prime},\Omega ) \frac{d\Omega^{\prime}}{4\pi}]d\lambda = 4\pi \int q_{\lambda}J_{\lambda}d\lambda
左辺第一項は、$$4\pi \int q_{\lambda} (1-\varpi )B_{\lambda}(T)d\lambda$
左辺第二項は、\int d\Omega\int d\Omega^{\prime} I_{\lambda}(\Omega^{\prime})g(\Omega^{\prime},\Omega ) = 0より、0となる。
その結果を(1-\varpi_{\lambda 0})で割ったら、得られる。

外部放射ソースを、サイズr_eと強度I_{e\lambda}とすると、放射輸送問題は、
\theta_{e1} = \frac{r_e}{r_1}
という比に依存している。

(11)式の\muは\cos\thetaであるから、中心からの方位角の積分は、面積をかけたものと近似できる。
F_{e\lambda}(r_1) = \int \mu I_{e\lambda}d\Omega \sim \pi \theta_{e1}^2I_{e\lambda}
F_{e\lambda}(r_1) = \int F_{e\lambda}(r_1)d\lambda = \frac{L_e}{4\pi r_1^2}
で、スペクトル型を
$$f_{e\lambda} = \frac{F_{e\lambda}}{F_e}
とする。

F_{e1}は、ダストの放射\sigma T_1^4を一意に決定する。
\Psi = \frac{4\sigma T_1^4}{F_{e1}}
を定義すると、光学的厚み、angular shapes、無次元密度プロファイルなどの無次元量で一意に決定される。
規格化されたプランク分布
b_{\lambda}(T_1) = \frac{\pi B_{\lambda}(T_1)}{\sigma T_1^4}
にも依存する。
しかし、光度、実際のサイズ、密度などの有次元量には依存しない。

議論から、F_{e1}はT_1を一意に決め、逆も真である。
すると、昇華温度を満たすために、最内縁は、同じF_{e1}を保つために、光度を調節する。
ボロメトリックフラックスは、ダスト昇華によって自己制限されているため、ダストが放射源にできる限り近づくとすると、インプット放射の唯一関連するのはスペクトル型f_{e\lambda}である。

  • 4 SPHERICAL SYMMETRY

球対称を考えるが、多くはいろんなジオメトリーに利用できる。
球対称な場合、yは、中心からの無次元距離で、\tau_{\lambda}^Tと\eta (y)は、半径方向に定義される。
放射源は、球殻上のダストに囲まれていて、最内縁半径r_1は、式(2)のスケーリング長さとして選ぶ。

この条件では、ダストの昇華は常にy=1で起こり、ダスト温度スケールは、T(y=1)\equiv T_1 = T_{sub}である。
ダストの光学的性質は、波長ごとの吸収係数q_{a\lambda}とアルベド\varpi_{\lambda}で特徴づけられる。
その空間分布は
\eta (y) = \frac{\kappa_{\lambda}(y)}{\int_1^{\infty}\kappa_{\lambda}(y)dy}
という減光係数の変化で記述される。
減光スケールは、半径方向の行程\tau_0によって設定できる。
全ての波長について、\tau_{\lambda}^T = \tau_0q_{\lambda}と表せる。

\tau_{\lambda}(y,\theta ) = \tau_{\lambda}^T\int_0^{y\cos\theta} \eta \left(\sqrt{u^2+y^2\sin^2\theta}\right)du
この式(17)から(20)は、意味さっぱり不明。
図くらい載っけとけよ。

この章から先は必要ないので、ここまででいいかな？
「Ivezic&Elitzur, MNRAS,287,799(1997)」をウィキ内検索
最終更新：2013年02月28日 00:22