みなのお勉強の部屋
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EU_2_ROBERTSON-WALKER_METRIC

2.1 Open, Closed, and Flat Spatial Models

[Hubble Volume]
[Hubble Time]
Hubble半径c/H_0の球の体積がハッブル体積。
1/H_0は時間の単位を持ち、ハッブル時間

[Robertson-Walker metric]
ds^2 = dt^2 - R^2(t)\left{\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\phi^2\right}

(t,r,\theta,\phi)は、共動座標。
共動座標は、宇宙が膨張しない場合の座標系。R(t)をかけることでその時間の距離に直せる。

メトリックの空間部分は
dl^2 = h_{ij}dx^idx^j
とすると、h_{ij}= -g_{ij}

リーマンテンソル、リッチテンソル、リッチスカラーは、それぞれ
^3R_{ijkl} = \frac{k}{R^2(t)}(h_{ik}h_{jl}-h_{il}h_{kj})
^3R_{ij}=\frac{2k}{R^2(t)}h_{ij}
^3{\cal R} = \frac{6k}{R^2(t)}

アフィン係数の０でない要素は、
\Gamma^i_{jk} = \frac{1}{2}h^{il}\left(\frac{\partial h_{lj}}{\partial x^k} + \frac{\partial h_{lk}}{\partial x^j} - \frac{\partial h_{jk}}{\partial x^l} \right)
\Gamma^0_{ij} = \frac{\dot{R}}{R}h_{ij}
\Gamma^i_{0j} = \frac{\dot{R}}{R}\delta^i_j

リッチテンソルの０でない要素は、
R_{00} = -3\frac{\ddot{R}}{R}
R_{ij} = - \left[\frac{\ddot{R}}{R} + 2\frac{\dot{R}^2}{R^2} + \frac{2k}{R}\right]g_{ij}

リッチテンソルは、
{\cal R} = -6\left[\frac{\ddot{R}}{R} +\frac{\dot{R}^2}{R^2}+\frac{k}{R^2} \right]


2.2 Particle Kinematics

光はds^2=0のgeodesic equationを満たす。
空間の一様性と等方性から、r_0=0, d\thita = 0, d\phi = 0と出来る。
(2.1)から、
\int_0^t \frac{dt^{\prime}}{R(t^{\prime})} = \int_0^{r_H} \frac{dr}{\sqr{1-kr^2}}
となる。
固有距離
d_H(t) = \int_0^{r_H} \sqr{g_{rr}}dt
は、単純に
d_H(t) = R(t)\int_0^t \frac{dt^{\prime}}{R(t^{\prime})}
と書ける。d_Hが有限かどうかは、R(t)によってきまる。


2.3 Kinematics of the RW Metric

これまでの議論から、時間t_0の時の光の波長\lambda_0、時間t_1の時の光の波長\lambda_1の関係は、
\frac{\lambda_1}{\lambda_0} = \frac{R(t_1)}{R(t_0)}
となる。



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最終更新：2016年04月10日 23:14