PPiIM Chapter8

(8-1)(8-2)のあたりやStokesパラメータは、Radiative Processes in Astrophysicsの中に、偏光の解説があるので、読むと良い。

8.1 OPTICAL PROPERTIES OF NONSPHERICAL PARTICLES

Section7.1のefficiency factors(Qe,Qs)は、進行方向のベクトル(振動面) $\bm{\kappa}$ と電気ベクトル $\bm{E}$ 関して、粒子の方向による。
efficiency factorが決められている形状は、無限シリンダーと回転楕円体がほとんど。

$\bm{\kappa}$ と $\bm{E}$ を含む面のefficiency factorは、 $Q_{eE}$
$\bm{\kappa}$ と $\bm{B}$ を含む面のefficiency factorは、 $Q_{eB}$

Fig8.1は、無限シリンダーの２つのefficiency factor(m(複素屈折率) = 1.33,波面はシリンダーの軸に平行)
x<2πで $\bm{E}$ と平行な方向には、強く散乱されるのは、その方向に無限に長さが広がってるから。

For x<1, ----- altered.のところは読み直し。

Fig7.1のように、(m-1)が増えると、 $Q_{eE}$ と $Q_{eH}$ は小さいxの方にシフトする。(後で確認する)
なので、 $m=2^{1/2}(1-i)$ の無限シリンダーは、efficiency factorsは、最大値2(x>=1)に近づき、 $10(Q_{eE} - Q_{eH})$ は最大値7(x~0.3)に近づく。

回転楕円体については、実験室で光学的性質が測られている。prolate spheroidは、無限シリンダーとは大きく異なったefficiency factorsが得られる。特に、そのような回転楕円体の $Q_{eE}-Q_{eH}$ の値は、一般的に少なくともシリンダーの半分以上である。同じような結果がwave equationの解に基づいた厳密な理論からも得られる。

m=1.33のシリンダー型の粒子の偏光効果はTable8.1にまとめられている。 $r_p= \frac{Q_{eE} - Q_{eH}}{Q_e}$ （ただし、 $Q_e = (Q_{eE} + Q_{eH})/2$ ）と定義する。以下の(8-5)式に見られるように、0.46r_pは、偏光/減光の比であり、それは、シリンダー型のグレインがすべて軸が平行で視線方向に垂直な理想的な場合のものである。 $m=2^{1/2}(1-i)$ の金属の吸収シリンダーについては、r_pの値は同じように広がっていて、xの値は、約1/5である。

8.2 OBSERVED POLARIZATION

a. Dependence on Color Excess

赤化してない星は偏光しないが、大きな色超過がある星は、Pの値は0から以下の最大値まで広く分布する。
$\left( \frac{P}{E_{B-V}} \right)_{max} = 0.090 \mathrm{mag}^{-1} & (8-3)$
ここで、Pは、波長依存の小さい可視光で測られる。O/B星で観測される平均値は、この上限の半分である。

この関係が、グレインによる減光が観測される偏光に寄与しているという証拠となるので、Pをグレインの性質で表現することをすすめる。電気ベクトルが回転した時に、Qeの最大値と最小値をQemax,Qeminとすると、(3-2)(3-3)(3-14)(7-2)(8-1)と $j_{\nu}=0$ を利用して、
$P=\frac{1}{2} N_{d} \sigma_{d} (Q_{e max} - Q_{e min}) & (8-4)$
ただし、P<<1で、(Qemax - Qemin)の線形項だけを用いる。（ここは、導出を後で確認）
もし、(7-1)を使って、 $N_d \sigma_d$ を消去すれば、
$\frac{P}{A_{\lambda}} = 0.46 \frac{(Q_{emax}-Q_{emin})}{\bar{Q_e}} & (8-5)$
$(\bar{Q_e} = (Q_{emax} + Q_{emin})/2$ （ここも導出を後で確認）
が得られる。

グレインがシリンダーで伸びた回転楕円体でそれぞれ平行で視線方向に垂直であれば、 $Q_{emax}=Q_{eE},Q_{emin}=Q_{eH}$ であり、 $P/A_{\lambda}$ はTable8.1に値がある0.46rpとなる。
グレインがm=1.33のシリンダーだとしたら5500Aでx=2.5であり、Table8.1から0.46rp=0.12となり、観測のピーク値の約4倍、 $P/A_V$ の平均値0.015の8倍となる。大きなmを仮定すれば、xは減少するが、Vバンドでの偏光の効率は大きく変わらない。実際には、すべてのグレインが伸びているわけでもないし、方向が揃っているわけでもない。これらの二つの効果が理論値より観測値が小さくなる理由だろう。

b. Dependence on Wavelength

直線偏光をP(λ)で表すと、4000Aから6000Aではほぼ一定だが、その両端を超えると、急激に落ちる。P(λ)の最大となる観測された波長をλmaxとすると、この波長は星ごとに異なっており、4500Aから8000Aの間で平均5500Aで広がっている。偏光を、λ/λmaxの関数として表現して、P(λmax)で割ると、規格化された偏光曲線が得られる。

この様にして得られた偏光曲線が、Fig.8.2である。
open circle: 60この星の平均
solid circle: 個々の星
曲線は、m=4/3のシリンダーの氷のグレインがある半径分布をして、部分的に揃っている場合を示している。明らかに、P(λ)の曲線は、Fig.8.1の $Q_{eE}-Q_{eH}$ の曲線と似ている。粒子のサイズの分布によって理論曲線は広がり、干渉効果による波がなめらかになる。 $Q_{eE}-Q_{eH}$ のx~2.5での最大値を考えると、x=2πa/λから、λmax=5500Aに対して、 $2\times 10^{-5} \mathrm{cm}$ がシリンダーの半径となる。Fig8.2のフィットは唯一のものではなく、より小さな粒子が紫外線観測を説明するために必要であり、シリケイトの存在もグレイン生成と発達の理論によるのと同様な9.7μの吸収を示している。同様なフィットが上記の半分の半径でm=1.6と増やすとそれぞれの波長で(m-1)xの同じ値を与える。

星ごとにλmaxが異なることは、クラウドごとにダストグレインのサイズが異なることを示唆している。λmaxが大きくなると、減光が赤外線でおこる。
明らかに、(7-20)式のRvはλmaxによって変化し、詳しくは、
$R_v = \frac{5.5 \lambda_max(\mathrm{\AA})}{10000 \mathrm{\AA}} & (8-6)$
で。Rvが2.5から3.9まで変化するとすると、λmaxは4500Aから7000Aまで変化する。λmaxの平均値5500AはRv=3に対応し、E(λ,V)の11.4μまでの変化は、Rvの値をわずかに大きくする。
選択減光とλmaxの関係は、星の特徴で説明できず、星間雲のグレインの性質の違いの証拠を与えていると思われる。

同様な違いが、ひとつの大きな雲の外側と内側でも存在している。特に、ρ Ophを囲むクラウドの中で、λmaxと赤外線減光の変化は減光が増加することで観測されている。 $E_{B-V}$ が0.2magから0.4magの平均的に赤化した星はこのクラウドのはしに当たるが、λmaxの平均は6200Aである。それに対して、0.1magから1.3magに広がっている星に対しては、内側の濃い領域の裏側にあると思われるが、λmax=8000Aとなる。同様なことが、赤外線減光でも(8-6)で変化する。

Faraday Rotationの話。
スペクトルレンジ3300Aから9800Aで、電気ベクトルは3°-27°に変化する。
場所による変化は、揃っている方向とΔQeの波長依存で要求されている。ΔQeは、磁場のベクトルと振動面の傾きの変化によるQeの変化であり、個々のダストグレインの $Q_{eE}-Q_{eH}$ と揃っている度合いに依存している。

場所ごとのλmaxの変化は可視光と赤外光の規格化された減光曲線とは相関が強いが、遠紫外線とは弱い。
これ以降は、その実例の話。

c. Dependence on Galactic Longitude

ここでは、λmaxの変化はおいておき、偏光の方向、つまり振動面の変化を考える。Section8.3aで示されるように、星間グレインは、整列に関わる特定のプロセスに関係なく磁場 $\bm{B}$ の周りを歳差運動している。なので、偏光の方向は、磁場の方向の情報を与える。この一般論は、振動面(ほぼ銀画面と平行)と磁場が平行だったり、垂直だったりを示すものではない。しかし、ファラデーローテーションは、疑問はあるが、磁場は銀河面と平行で、つまり振動面は磁場と平行でなくてはならない。

異なる星のデータを平均化するために、ストークスパラメータQとUを導入する。(Radiative Processes in Astrophysicsを参照)
$\frac{Q}{I}=P\cos 2 \left( \theta_P - \frac{\pi}{2} \right) & (8-7)$
$\frac{U}{I}=P\sin 2 \left( \theta_P - \frac{\pi}{2} \right) & (8-8)$
$\theta_P$ は、天球に射影した振動面と星から銀河の北極への大円のあいだの角度である。
明らかに、Qはこの振動面が銀河面と平行( $\theta_P=\pi/2$ )ならプラスで、垂直( $\theta_P=0$ )ならマイナスである。偏光が小さい場合、複数のクラウドを通ってきた場合、各クラウドでの偏光の重ねあわせで表せる。(Radiative Processes in Astrophysicsを参照)

Fig.8.3は、ストークスパラメータ $q=2.17Q/I$ の平均値を、銀経の関数としてプロットしたものである。
２乗サイン形の曲線は、prolateな回転楕円体のグレインで、長軸がb=0°,l=50°の方向の磁場に垂直になっているとした場合に期待されるものである。明らかにQの平均は最大値のあいだで比較的低き値に落ちている。Qの最大値の位置は、距離によって変わる。

U/Iは普通には平均しないで、rmsをとり、その値を $\sigma_U$ とする。 $\sigma_U$ は、場所ごとの位置角 $\theta_Pj$ のrmsゆらぎを決定するのに使えるかもしれない。理想的なモデルとして、偏光はクラウドのランダムな分布によって作られ、それぞれは、同じPjをつくるが、いくつかの平均値は $\theta_{Pj}$ の分布をもつと仮定する。磁場と垂直な方向から見られる同じ距離の銀河面の星のグループを考える。磁場が銀河面と平行であれば、平均の $\theta_{Pj}$ はπ/2であり、以下のαを定義する。
$\alpha^2 = \left( \left( \theta_{Pj} - \frac{\pi}{2} \right)^2 \right> & (8-9)$
明らかに、αは $\theta_{Pj}$ の分散である。視線上のクラウドの $\theta_{Pj}$ の値は関係しないとすると、(8-8)は、
$\sigma_U^2 = P_j^2 \sum_j \left( \sin^2 2 \left( \theta_{Pj} - \frac{\pi}{2} \right) \right> = \frac{4P^2\alpha^2}{n} & (8-10)$
となる。nは、視線上の平均クラウド数で、P/Pjに等しい。この式を得るためには、(8-9)で $\theta_{Pj} - \pi /2 << 1$ とする。

==(8-10)について==
$\sin 2 \left( \theta_{Pj} - \frac{\pi}{2} \right) \sim 2 \left( \theta_{Pj} - \frac{\pi}{2} \right)$ を使えばいいのだが、
Pjが和の外に出る理由が不明なのと、視線上の平均クラウド数は $n^{1/2}$ じゃないかなあ？
==================

nを決めるために、Q/Iの分散 $\sigma_Q$ を使う。 $\theta_{Pj} - \pi /2$ が小さいと、(8-7)のコサインは1でQ/IはPjの合計となる。
視線上のクラウド数のrms分散は $n^{1/2}$ なので、
$\sigma_Q^2 = nP_j^2 = \frac{P^2}{n} & (8-11)$
(8-10)(8-11)から
$\frac{\sigma_U}{\sigma_Q} = 2\alpha & (8-12)$
となる。

この辺、書いたけど消えたから放置。

d. Circular Polarization

右回りの偏光成分と左回りの偏光成分が異なる速度変化を起こすために、微妙な円偏光が起こるという話。
いまいちよくわからなかったな。
複素屈折率を使った光学の勉強が必要かな。

8.3 ALIGNMENT

ダストが偏光を作るためには
(i)光学的に非東方　(ii)グレインが部分的にも整列している
が要件。
ここでは、整列する物理的なメカニズムを考える。

グレインの回転を考える。慣性モーメントをIとすると、Tを運動温度として、エネルギー保存は
$\frac{1}{2} I <\omega^2> = \frac{1}{2}kT & (8-13)$
となる。半径aの球のグレインではI=2Ma^2/5であり、内部密度が1 gm cm^{-3}でガス温度が80Kの場合には、
$<\omega^2>^{1/2} = \frac{8.1 \times 10^{-8}}{a^{5/2}} \mathrm{s}^{-1} & (8-14)$
となる。(M=4πa^3/3を使えばすぐ)

$a=3\times 10^{-5} \mathrm{cm}$ のとき $\omega=1.6\times 10^4 \mathrm{s}^{-1}$
$a=1\times 10^{-5} \mathrm{cm}$ のとき $\omega=2.6\times 10^5 \mathrm{s}^{-1}$
位の値が得られるが、実際には、他にも回転を強める効果があるので大きな値となる。

外部トルクがなければ、角運動量 $\bm{J}$ は一定であるが、回転軸ωが角運動量の周りを回転する。これをnutation(章動)という。
いろんなトルクの簡単な扱いを考える。

a. Conservative Torques

星間磁場 $\bm{B}$ とグレインの磁気モーメント $\bm{M}$ が、トルク $\bm{M} \times \bm{B}$ を作るが、これは、一次近似では保存トルクであり、これを $\bm{L_c}$ とする。一般に、 $\bm{L_c}$ は小さく、<<1/2kTのごくわずかなポテンシャルエネルギー変化しか起こさない。Lcは $\bm{J}$ についてのnutationの1周期のあいだにエネルギー変化を起こさないので、磁場に対して整列できない。しかし、 $\bm{L}_c$ は、磁場について、角運動量の歳差を引き起こす。

一般には、グレインは $Z_d e$ の電荷を持つとする。eはプロトンのesu単位での電荷である。
周波数νで半径aの円で進化する電荷qの磁気モーメントは、 $\pi a^2q\nu$ であり、回転するダストグレインについては、磁気モーメントは
$M=\frac{Z_d e <z^2>\omega}{2c} & (8-15)$
で（導出不明）、<z^2>は、回転軸からの表面電荷の平均二乗距離である。また、
$\bm{L}_c = \bm{M} \times \bm{B} & (8-16)$
である。

ジャイロスコープの理論では、角運動量は角運動量に垂直な変化によって磁場について角運動量の歳差を作り、角度の率は
$\Omega_c=\frac{MB\sin\theta}{J} & (8-17)$
で、θは角運動量と磁場のなす角である。半径aの球では、<z^2>=2a^2/3で、(8-17)は、JにIωをいれて $I=(2a^2/5)\times (4\pi a^3\rho_s/3)$ を使うと、
$\Omega_c=\frac{5Z_d eB\sin\theta}{8\pi c\rho_s a^3}=\frac{2.5\times 10^{-19}Z_d\sin\theta}{a^3} \mathrm{year}^{-1} & (8-18)$
が与えられる。 $\rho_s$ はグレインの固体物質の密度で、1にした。Bは2.5x10^{-6}Gとした。
$a=3\times 10^{-5} \mathrm{cm},Z_d = 20,\sin\theta = 0.5$ とすると、 $1/\Omega_c$ は、1.1x10^4 yearとなった。でも、実際は、いろんなファクターから、10倍早く、回転する。

グレインが複雑な形をしていても、歳差運動は、平均化するとキャンセルするので、結局磁気モーメントの平均と角運動量は平行で、同じ議論を用いることができる。

このことから、グレインが整列していなくても、平均すれば、クラウド内の方向は磁場に支配されていると言える。なぜなら、磁気モーメントの変化は、磁場に対して対照的だからである。よって、振動面の測定は、磁場の測定につながる。これらから、振動面が星間磁場に平行か垂直な場合に、吸収が最低になると考えられるが、ファラデーローテーションは、磁場が銀河面に平行であると示している。観測された振動面も銀河面に平行なので、グレインが磁場に垂直に整列していることは疑いなさそうだ。進行方向ベクトルと磁場ベクトルに垂直な電気ベクトル方向が最も吸収されやすい。

b.Accelerating Collisional Torques

実際には、衝突は、弾性的ではない。中性水素は衝突で水素分子を形成したり、離れる時に遷移エネルギーを持ち去る。
Section6.2bで指摘したように、このエネルギーの量ははっきりしないが、0.2-2eVになりそうで、これは $z_H$ が0.04~0.4の間、つまり抽出速度が4-14km/sの間に対応する。これらの外れていく分子は、グレインに角運動量の増加ΔJを与える。グレインの表面が均一なら、<ΔJ>はキャンセルし、<(ΔJ)^2>は、弾性衝突の値に比べて1桁から2桁増える。結果として、同じファクターで回転エネルギーを増やしたところで平行になるだろう。

実際には、グレインの表面は均一ではない。中性水素の分子化はある場所でおこり、その場所を"active sites"と呼ぶ。このサイトの場所によって、<ΔJ>はキャンセルせず、定常的な加速が起こる。安定性から、慣性モーメントの最大値か最小値に回転の軸が収まる。角速度は、加速と摩擦トルクが釣り合うまで、増加する。この過程を"spin-up"という。

ωが平衡状態に達するまでにかかる時間は、半径aの球に対しては、
$t_m = \frac{4\rho_s a}{3\times 1.2 n_H m_H <w_H>} = 1.6 \times 10^{11} \frac{a}{n_H} \mathrm{years} & (8-19)$
となる。1.2のファクターは、H原子に対するHe原子の比の10%である。
数値概算： $t_m=2.4\times 10^5$

明らかにこの効果は、熱平衡での回転の描像から変わっている。
角運動量の方向は磁場の方向と揃ってなくてはならないので、グレインは最大の慣性モーメントを持つ軸について回転しているに違いない。

線形加速は、角運動量に平行な成分だけが起こす効果である。歳差運動の周期は短いため、磁場に垂直な加速成分はキャンセルしてしまい、磁場に平行なガスを通るグレインの動きに反映される。この遷移速度は、水素分子の抽出速度より小さく、グレインとの低速度衝突の数を増加させる。

以下では、"active site"の場所を時間で固定する。グレインは(9-30)に従って大きくなるため、角速度は小さくなったりすることがある。数値計算では、activesitesの寿命がtmより短い場合は、spin-upは、tm続く。以下では、spin-upが、tm続く場合("short-lived spin-up")と無限に続く場合("long-lived spin-up")のどちらかを考える。

c. Retarding Magnetic Torque

角運動量が揃う一般的に受け入れられているメカニズムは、常磁性緩和(paramagnetic relaxation)に関連した遅延トルクである。常磁性物質が振動したり回転したりする磁場にさらされると、磁化率は複素数で、以下のようにかける。
$\chi = \chi^{\prime}+i\chi^{\prime\prime} & (8-20)$
虚部は、物質の変化する磁化からのエネルギーの吸収を表す。常磁性物質が、一定の磁場内で回転すると、虚部は内部磁化 $\chi \bm{B}$ を物質に沿って引きずり、磁場から離れていく。広い条件で、常時性物質の虚部の値は、cgsで
$\chi^{\prime\prime} = 2.5\times10^{-12} \frac{\omega}{T_s} & (8-21)$
となる。Tsはグレインないの固体物質の温度で、ωは角回転周波数である。ωが10^9を超えると、(8-21)は成り立たなくなる。spin-upのために、グレインが達するωの値が10^9である。

グレインの内部磁化は、 $\chi^{\prime\prime}\bm{\omega}\times \bm{B}/\omega$ であり、磁気モーメント $\bm{M}$ は、これにグレイン体積Vをかけたものである。遅延トルク $\bm{L}_r = \bm{M} \times \bm{B}$ は、 $\bm{\omega}$ と $\bm{B}$ の角度を $\theta$ として、
$L_r= V\chi^{\prime\prime}B^2\sin\theta & (8-22)$
となる。

球状のグレインでは、Lrの力学的効果は比較的簡単で、磁場に垂直な回転モーメント $I\omega_{\perp}$ は、指数的に減少する。磁気遅延時間trは、
$t_r=\frac{I\omega_{\perp}}{L_r} & (8-23)$
とかけ、
$t_r=1.6\times 10^{11}\frac{a^2\rho_s T_s}{B^2} s = 1.2\times 10^{16} a^2 \mathrm{years} & (8-24)$
となる。ここで、 $I=0.4a^2V\rho_s$ を使った。

===(8-24)の導出===
(8-23)と(8-22)と上の条件から
$t_r=\frac{I\omega_{\perp}}{L_r} = 0.4a^2V\rho_s\omega_{\perp}\cdot \frac{1}{V\chi^{\prime\prime}B^2\sin\theta}$
(8-21)から
$\omega_{\perp}=\frac{\chi^{\prime\prime}T_s}{2.5\times 10^{-12}}$
を用いて、
$t_r=\frac{a^2\rho_s}{B^2} \frac{0.4}{\chi^{\prime\prime}\sin\theta}} \frac{\chi^{\prime\prime}T_s}{2.5\times 10^{-12}}$
$=1.6\times 10^{11} \frac{a^2\rho_sT_s}{B^2} s$
=================

ここから先は、また今度。

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最終更新：2013年01月25日 05:10

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