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ビリアル定理

力学的な平衡状態で成り立つ巨視的な条件が、ビリアル定理(virial theorem)である。
Kを全運動エネルギー、Uを全ポテンシャルエネルギーとすると、
2<K> + <U> = 0
が成り立つことである。

証明を以下に示す。

L_{vir} = \sum_i \bm{p}_i \cdot \bm{r}_i
を定義し、時間tで微分すると、
\frac{d L_{vir}}{dt} = \sum_i \frac{d\bm{p}_i}{dt} \cdot \bm{r}_i + \sum_i \bm{p}_i\cdot\frac{d\bm{r}_i}{dt}= \sum_i \bm{F}_i \cdot \bm{r}_i + \sum_i m\bm{v}_i^2　(*)
ここで、第二項は、
\sum_i m\bm{v}_i^2 = \sum_i 2 \times \frac{1}{2} m \bm{v}_i^2 = 2K
と変形できる。（Kは全運動エネルギー）
よって、
\frac{d L_{vir}}{dt} = 2K + \sum_i \bm{F}_i \cdot \bm{r}_i
となる。
右辺第二項は、
C_2 = \sum_i \bm{F}_i \cdot \bm{r}_i = \sum_{i,j(i<j)} \bm{F}_{ij} \cdot \bm{r}_i + \sum_{i,j(i>j)} \bm{F}_{ij} \cdot \bm{r}_i
= \sum_{i,j(i<j)} \bm{F}_{ij} \cdot \bm{r}_i + \sum_{i,j(i>j)} \bm{F}_{ji} \cdot \bm{r}_j
ここで、
\bm{F}_{ij}=\frac{Gm_im_j (\bm{r}_i - \bm{r}_j)}{|\bm{r}_i - \bm{r}_j|^3}
を考慮すると、
C_2 = \sum_{i,j(i<j)} \bm{F}_{ij} \cdot (\bm{r}_i - \bm{r}_j)
= \sum_{i,j(i<j)} \frac{Gm_im_j (\bm{r}_i - \bm{r}_j)}{|\bm{r}_i - \bm{r}_j|^3} \cdot (\bm{r}_i - \bm{r}_j)
= \sum_{i,j(i<j)} \frac{Gm_im_j}{|\bm{r}_i - \bm{r}_j|} = \sum_{i,j(i<j)} U_{ij} = U
ここで、(*)を0からtで時間平均する。
左辺は、
\lim_{t\rightarrow\infty} \frac{1}{t} \int_0^t \frac{dL_{vir}}{dt} dt = \lim_{t\rightarrow\infty}\frac{L_{vir}(t) - L_{vir}(0)}{t} = 0
となる。
右辺は、
2<K>+<U>となるので、最初の式が成り立つことがわかった。
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最終更新：2013年02月02日 05:55