RPiA CHAPTER 1

1.2 RADIATIVE FLUX
等方的な放射のフラックスは距離の２乗に反比例する。
$F = \frac{\mathrm{constant}}{r^2}$

1.3 THE SPECIFIC INTENSITY AND ITS MOMENTS
[強度（輝度）の定義]
Figure1.2から一本のRayが運ぶエネルギーは
$dE = I_{\nu} dA dt d\Omega d\nu$
であり、 $I_{\nu} [\mathrm{ergs} \mathrm{s}^{-1} \mathrm{ster}^{-1} \mathrm{Hz}^{-1}]$ を強度（輝度）という。

[フラックスとモーメント]
Figure1.3から方位角 $d\Omega$ からのフラックスは、面積で $\cos\theta$ 分薄まって
$dF_{\nu} [\mathrm{ergs}\mathrm{s}^{-1}\mathrm{cm}^{-2}\mathrm{Hz}^{-1}] = I_{\nu} \cos\theta d\Omega$
方向 $\mathbf{n}$ の全フラックスは、
$F_{\nu} = \int I_{\nu}\cos\theta d\Omega$
である。等方的な放射場であれば、ネットフラックスは0となる。

モーメントを求めるためには、角度 $\theta$ からくるフラックスのモーメントは $dF_{\nu}/c$ である。
さらに、光子のモーメントのdAに垂直な成分のみなので、 $\cos\theta$ をさらにかけて、
$p_{\nu}[\mathrm{dynes}\mathrm{cm}^{-2}\mathrm{Hz}^{-1}] = \frac{1}{c} \int I_{\nu}\cos^2\theta d\Omega$
となる。

1.4 RADIATIVE TRANSFER

[emissivity]
単位周波数、単位時間、単位質量、からの自然放射のエネルギー。

1.5 THERMAL RADIATION

[Kirchhoff's Law for Thermal Emission]
Figure1.9とeq(1.30)から、 $I_{\nu} = B_{\nu}$ として、考えると、
$S_{\nu} = B_{\nu}(T),j_{\nu} = \alpha_{\nu}B_{\nu}(T)$
となり、後の関係をKirchhoff's Lawという。

注意点として、
黒体放射： $I_{\nu}=B_{\nu}$ と熱放射： $S_{\nu}=B_{\nu}$ は異なることである。
熱放射が、黒体放射になるのは、eq(1.30)から $\tau_{\nu} > 1$ のときだけである。

［(1.45)の導出］
eq(1.40)とeq(1.41)から、
$\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V = 4aT^2V$
$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \frac{4aT^3}{3}$
より、導くことができる。

［Planck関数の導出］
周波数 $\nu$ で方向 $\mathbf{n}$ に進む光子の波数ベクトルは、
$\mathbf{k} = (2\pi /\lambda )\mathbf{n} = (2\pi \nu /c)\mathbf{n}$
であるから、波のノードの数は、 $n_x = k_xL_x/2\pi$ なので、
$Delta n_x = \frac{L_x\Delta k_x}{2\pi}$
すると、状態数は、 $\Delta k_x\Delta k_y\Delta k_z \equiv d^3k$ として、
$\Delta N = \Delta n_x\Delta n_y\Delta n_z = \frac{L_xL_yL_zd^3k}{(2\pi )^3}$
となる。
単位体積あたり、単位３次元波数あたりの状態数は、 $2/(2\pi )^3$ である。

すると、
$d^3k = k^2dkd\Omega = \frac{(2\pi )^3\nu^2 d\nu d\Omega}{c^3}$
となる（なぜ $d\Omega$ が入るのかなあ？）ので、状態密度は、
$\rho_s = \frac{2\nu^2}{c^3}$
である。

それぞれの状態の平均エネルギーを考える。
状態nのエネルギーは $h\nu$ で、状態には $n$ 個の光子がある。
そうすると、エネルギーは、 $E_n = nh\nu$ であり、統計力学によると、エネルギー $E_n$ の状態を取る確率は、 $e^{-\beta E_n}, \mathrm{where} \beta =(kT)^{-1}$ に比例する。
よって、平均エネルギーは、
$$\bar{E} = \frac{\sum_{n=0}^{\infty} E_n e^{-\beta E_n}}{\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta E_n}} = - \frac{\partial}{\partial \beta} \ln \left( \sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta E_n} \right)
となる。いま、
$\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta E_n} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nh\nu\beta} = \frac{1}{1-e^{-\beta h\nu}}$
なので、
$\bar{E} = \frac{h\nu e^{-\beta h\nu}}{1-e^{-\beta h\nu}} = \frac{h\nu}{\exp(h\nu /kT)-1}$
となる。

以上をまとめると、
$u_{\nu}(\Omega ) = \left(\frac{2\nu^2}{c^3}\right) \frac{h\nu}{\exp(h\nu /kT)-1}$
となる。(1.6)で $I_{\nu}=B_{\nu}$ と考えると、
$B_{\nu}(T) = \left(\frac{2h\nu^3}{c^2}\right) \frac{1}{\exp(h\nu /kT)-1}$

[プランク関数の性質]

$h\nu \ll kT$ : Rayleigh-Jeans Law

指数部分を展開して計算すると、
$I_{\nu}^{RJ}(T) = \frac{2\nu^2}{c^2}kT$
が得られる。つまり、波長の長い方、周波数の低い方でRJ領域となる。
言い換えると、電波領域などでフラックスはlogスケールで直線になる。

$h\nu \gg kT$ : Wien Law

1が無視できるので、

$I_{\nu}^W (T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \exp \left(\frac{-h\nu}{kT} \right)$
となる。つまり、波長の短い方、周波数の高い方でWien領域となる。
言い換えると、紫外線、X線、ガンマ線では、指数的に急激に強度が落ちる。

[プランク関数に関連した温度]

Brightness Temperature

電波領域で、RJを使って測定されることが多い。
Optically thickでは、輝度温度は、物質温度に近づく。
輝度温度は、黒体放射以外では、 $\nu$ の関数である。

Color Temperature

スペクトルを黒体放射でフィッティングして、色温度を求める。

Effective Temperature

フラックスのトータル値を等しくするような、黒体放射の温度を求める。
$F=\int \cos\theta I_{\nu}d\nu d\Omega \equiv \sigma T_{eff}^4$

1.6 THE EINSTEIN COEFFICIENTS

[Einstein relations]
$g_1B_{12} = g_2B_{21}$
$A_{21} = \frac{2h\nu^3}{c^2}B_{21}$

[(1.74)の導出]
(1.74)で、 $h\nu_0$ になってなくて $h\nu$ になっている理由がわからない。
？？？？？

[Thermal Emission]
物質が、熱平衡にある場合には、
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{g_1}{g_2}\exp \left(\frac{h\nu}{kT}\right)$
このとき、LTE(local thermal equilibrium)という。この場合、
$\alpha_{\nu} = \frac{h\nu}{4\pi}n_1B_{12} \left[1-\exp \left(\frac{-h\nu}{kT}\right)\right]\phi (\nu )$
$S_{\nu}=B_{\nu}(T)$

[Maser]
$\frac{n_2g_1}{n_1g_2} = \exp\left(\frac{-h\nu}{kT}\right) > 1$
つまり、短周波数、長波長では、
$\frac{n_1}{g_1}<\frac{n_2}{g_2}$
となる。これを、inverted populationsという。
この場合、吸収係数はマイナスで、インテンシティは増加することになる。
そのようなシステムをMaserという。

1.7 SCATTERING EFFECTS; RANDOM WALKS

[coherent scattering]
ある周波数範囲で入射した光は、同じ周波数範囲で散乱されると仮定する。
これをcoherent scatteringという。
非相対論的な電子による散乱は、ほぼcoherentである。

[(1.91)(1.92)の意味]
(1.91)の第一項は、thermal radiationの場合の放射項で、第二項は、散乱項。
それを、まとめると、(1.91)(1.92)のようになる。

1.8 RADIATIVE DIFFUSION

[plane-parallel assumption]
物質の性質（温度、吸収係数など）が媒体の深さのみに依存するという仮定。
これを仮定すると、対称性から、インテンシティは、Figure1.13のような角度θかのみに依存する。
θより、 $\mu = \cos\theta$ を使う方が便利である。
$ds = \frac{dz}{\cos\theta} = \frac{dz}{\mu}$
すると、輸送方程式は、
$\mu\frac{\partial I_{\nu}(z,\mu )}{\partial z} = -(\alpha_{\nu} +\sigma_{\nu})(I_{\nu} -S_{\nu})$
となる。書き換えると、
$I_{\nu}(z,\mu ) = S_{\nu} - \frac{\mu}{\alpha_{\nu}+\sigma_{\nu}}\frac{\partial I_{\nu}}{\partial z}$
ここで、問題にする点は、インテンシティがゆっくり変化する深い場所なので、微分項は無視でき、これを０次近似という。
$I_{\nu}^{(0)}(z,\mu ) \sim S_{\nu}^{(0)}(T)$

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最終更新：2013年02月22日 15:51

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