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RPiA CHAPTER 2

2.1 REVIEW OF MAXWELL'S EQUATIONS

[最後のパラグラフ]
静電場と静磁場では、\mathbf{E},\mathbf{B}は、r\rightarrow \inftyでr^{-2}で落ちる。
しかし、時間変化のある場では、r^{-1}で落ちる。
これはなぜだろう？？？

2.2 PLANE ELECTROMAGNETIC WAVES

[(2.23)の導出]
\mathrm{Re}A(t) = \frac{1}{2}({\cal A}e^{\mathrm{i}\omega t}+{\cal A}^*e^{-\mathrm{i}\omega t})
\mathrm{Re}B(t) = \frac{1}{2}({\cal B}e^{\mathrm{i}\omega t}+{\cal B}^*e^{-\mathrm{i}\omega t})
<\mathrn{Re}A(t)\mathrm{Re}B(t)> = \left< \frac{1}{2}({\cal A}e^{\mathrm{i}\omega t}+{\cal A}^*e^{-\mathrm{i}\omega t})\cdot \frac{1}{2}({\cal B}e^{\mathrm{i}\omega t}+{\cal B}^*e^{-\mathrm{i}\omega t}) \right>
=\frac{1}{4}<{\cal A}{\cal B}e^{2\mathrm{i}\omega t}+{\cal A}^*e^{-2\mathrm{i}\omega t} +{\cal A}{\cal B}^* + {\cal A}^*{\cal B}>
=\frac{1}{4}({\cal A}{\cal B}^* + {\cal A}^*{\cal B})
=\frac{1}{2}\mathrm{Re}({\cal A}{\cal B}^*) = \frac{1}{2}\mathrm{Re}({\cal A}^*{\cal B})

2.3 THE RADIATION SPECTRUM

[仮定]
  1. E(t)は、t\rightarrow \pm \inftyで0となる。
  2. 一方向のコンポーネントを考える。つまり、E(t) \equiv \hat{\mathbf{a}}\cdot \mathbf{E}(t)

[フーリエ変換の基本]
フーリエ変換
\hat{f}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-2\pi ift}dt
逆変換
f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f(f)} e^{2\pi ift}df

ここで、2\pi f = \omega , x = tとして、正変換と逆変換を入れ替え、tとxを入れ替えると
(2.27)(2.28)が得られる。
フーリエ変換の使い方は、色々あるので、慣れが必要。


[(2.29)の注意]
ここでは、時間平均しないので、(2.12)の方が適用されるので、4\piとなる。

[Figure2.1-2.3]
電場の時間変動に対して、長いこと観測すれば、それだけパワースペクトルの細かいところが見られるってこと。

2.4 PLARIZATION AND STOKES PARAMETERS

[(2.35)(2.36)(2.37)]
\mathbf{E}_0が複素数なのは、初期位相が含まれているから。
そのベクトルをx方向とy方向に分割してやる。
そうすると、x方向とy方向に振幅と(初期)位相が定義できるので、(2.36)となる。
以上から、(2.37)が導ける。

[(2.38)]
この式は、天下り的にx'y'平面上に楕円を描いている。
ここから先で、この楕円と、(2.37)を座標変換した値を比較することでストークスパラメータを決める。

[ストークスパラメータ]
Iは全強度を決める。
Vは偏光の形を表すパラメータで、(2.38)でのβを決める。
QとUは、観測方向からの楕円偏光の楕円の傾きを表す。
U/Qによって、傾きのtanがわかるので、そこから傾きを求める。

[準単色光]
この場合、(2.43)のように、単色光と違い、時間変動する。
なので、時間平均されるが、同じようにストークスパラメータを導くことができる。

重要な点としては、(2.54)のように、完全偏光してない光と完全偏光した光にわけられるということ。
それによって、(2.55)のような偏光度が定義できる。
V=0の直線偏光では、特別な計算ができる。

2.5 ELETROMAGNETIC POTENTIALS

[(2.67)について]
Jackson 1975にこの式の導出が書かれてるのかな？
この式は、retarded potentialsという。
ここで、
$$[Q] \equiv Q\left( \mathbf{r}^{\prime},t-\frac{1}{c}|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}}|\right)
と、retarded timeで計測される。

[電場と磁場]
与えられた電荷と電流密度による電場と磁場を求める方法。
  1. (2,67)からretarded potentialをもとめる
  2. \mathbf{E},\mathbf{B}を決める
次の章でこのように求める。

2.6 APPLIVABILITY OF TRANSFER THEORY AND THE GEOMETRICAL OPTICS LIMIT


[eikonal approximation]
波長の長さを超えて、一定の振幅と方向を持っていることが条件である。
この制限をgeometrical optics limitという。
波をg(\mathbf{r},t)=a(\mathbf{r},t)e^{i\psi (\mathbf{r},t)}の形で表す。
aはゆっくり変化する振幅で、ψは早く変化する位相である。
aが厳密に定数であれば、局所的な進行方向は
\mathbf{k} = \nabla \psi
で与えられ、局所的な周波数は、
\omega = - \frac{\partial \psi}{\partial t}
で与えられる。実際には、波動方程式に(2.70)を代入した(2.72)からaとψが得られる。
そこで、74ページの近似を行って、得られる(2.73)がeikonal方程式である。
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最終更新：2013年02月22日 19:47