RPiA CHAPTER 3

3.1 RETARDED POTENTIALS OF SINGLE MOVING CHARGES : THE LIENARD-WIECHART POTENTIALS

[(3.2)の導出]
(2.67)から、時間についてもデルタ関数で書いてやれば導ける。

[Lienard-Wiechart potentials]
$\phi = \left[\frac{q}{\kappa R} \right]$
$\mathbf{A} = \left[ \frac{q\mathbf{u}}{c\kappa R} \right]$

これらのポテンシャルは、静的な電磁気理論と２つの点で違う。

ファクター $\kappa$ がある
物理量がすべてretarded timeで計測されている

3.2 THE VELOCITY AND RADIATION FIELDS

potentialsを微分すると、(3.9)が得られ、この式の電場の第二項は、放射項である。
放射項は、1/Rで減衰するため、ポインティングベクトルは $R^2\times 1/R^2$ で無限にエネルギーを運べる。

[(3.12)(3.13)の導出]
よくわかりません？？？

3.3 RADIATION FROM NONRELATIVISTIC SYSTEMS OF PARTICLES

[Larmor's formula]
$P=\frac{2q^2\dot{u}^2}{3c^3}$
単位時間に、ゆっくり動く単一の電荷が放射するエネルギーを計算したもの。
(3.18)(3.19)には、３つの点がある。

エネルギーは、電荷と加速度の２乗に比例する
ダイポールパターン $\propto \sin^2\Theta$ を持っていて、加速の方向には放射されない
電荷が直線を進めば、 $\dot{\mathbf{u}},\mathbf{n}$ の面で100%直線偏光する

[ダイポール近似]
多数の粒子がある場合、 $\mathbf{E}_{rad}$ を足しあげればよいが、各粒子からのretarded timeが異なるため、複雑になる。
これを解決するために、系の変化のタイムスケールが、システムの系を光が横切るタイムスケールよりも十分大きい場合を考える。
つまり、粒子ごとのretarded timeの違いを無視できるようにする。
これを言い換えると、系のサイズが放射される波長よりも十分小さいことが条件である。

さらに、観測点までの距離が系のサイズより十分大きい場合に、(3.22)のようにかける。
すると、Larmor's formulaと同様に、(3.23)のようにかける。
これをダイポール近似という。電場の偏光は、 $\ddot{\mathbf{d}},\mathbf{n}$ の面にある。

[(3.25)の導出]
E(t)のフーリエ変換と(3.24)から
$E(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\hat{E}(\omega ) e^{-i\omega t}d\omega$
$=\ddot{d}(t)\frac{sin\Theta}{c^2R_0}$
$=-\frac{\sin\Theta}{c^2R_0}\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2\hat{d}(\omega ) e^{-i\omega t}d\omega$
式を比較すると、(3.25b)が得られる。

[(3.28)の導出]
(2.67)から(3.27)の下の式が求められ、そこに(3.27)を使うとすると、
$A_{\omega}(\mathbf{r}) = \int A(\mathbf{r},t)e^{i\omega t}dt$
$=\frac{1}{c}\int d^3\mathbf{r}^{\prime}\int dt^{\prime} \int \frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}\delta (t^{\prime}-t+\frac{1}{c}|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|)e^{i\omega t}dt$
$t^{\prime\prime} = t^{\prime} - t +\frac{1}{c}|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}$ と置き換えると、 $dt^{\prime\prime}=dt^{\prime}$ より、
$=\frac{1}{c}\int d^3\mathbf{r}^{\prime} \int dt^{\prime\prime} \int \frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime\prime}+t-\frac{1}{c}|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}\delta (t^{\prime\prime})e^{i\omega t}dt$
$=\frac{1}{c}\int d^3\mathbf{r}^{\prime}\int dt^{\prime\prime} \int \frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}^{\prime},t-\frac{1}{c}|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}e^{i\omega t}dt$
$t^{\prime}=t-\frac{1}{c}|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|$ とすると、 $dt^{\prime}=dt$ より、
$=\frac{1}{c}\int d^3\mathbf{r}^{\prime}\int dt^{\prime} \int \frac{\mathbf{j}(\mathbf{r}^{\prime},t^{\prime})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}e^{i\omega (t^{\prime}+\frac{1}{c}|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|)}$
$=\frac{1}{c}\int d^3\mathbf{r}^{\prime}\frac{\mathbf{j}_{\omega}(\mathbf{r}^{\prime})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}e^{i\omega \frac{1}{c}|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}$
$=\frac{1}{c}\int \frac{\mathbf{j}_{\omega}(\mathbf{r}^{\prime})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}e^{ik|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|}d\mathbf{r}^{\prime}$

[(3.30)の気になるところ]
分母の $|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}|$ が $r$ のみで置き換えられてるのは、おかしいなあ？
$\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}^{\prime}$ が消えてる。

3.4 THOMSON SCATERING (ELECTRON SCATTERING)

[(3.40)について]
係数の1/2はなに？？？
この係数は、ただ同じ重みで平均をとってるだけなのかな？
$\sigma_{\mathrm{pol}}=\sigma_{\mathrm{unpol}}$ を成り立たせるためには必要ではある。

3.5 RADIATION REACTION

[(3.42)あたりの話について]
Tは、運動エネルギーの変化のタイムスケール、 $t_p$ は、典型的な軌道タイムスケール。
$T \gg t_p$ である限り、エネルギーの損失は揺らぎのレベルと考えられる。
$\tau$ は、光が古典電子半径を横切る時間とコンパラであり、これより十分ゆっくり軌道が変化しないとここでの議論は適用できない。