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RPiA CHAPTER 5

5.1 EMISSION FROM SINGLE-SPEED ELECTRONS

[(5.2)の導出]
d(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \hat{d}(\omega ) e^{i\omega t} d\omega
なので、両辺をtで微分すると、
\ddot{d}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} -\omega^2 \hat{d}(\omega ) e^{i\omega t} d\omega
よって、\ddot{d}(t)に対応するのは、-\omega^2 \hat{d}(\omega )であるから、逆変換を考えて、(5.1)を考慮すると、導かれる。

[collision time]
衝突時間として
\tau = \frac{b}{v}
を定義し、周波数の周期との比較で積分を考える。

\omega \tau \gg 1の時、周波数が大きい場合であるから、(5.2)の右辺は早く振動するため、積分すると打ち消し合い、小さくなる。
\omega \tau \ll 1の時、(5.2)の指数は1に近くなるため、以下のようにかける。
\hat{d} \sim \frac{e}{2\pi \omega^2}\Delta \mathbf{v} , \omega\tau \ll 1
\sim 0 , \omega\tau \gg 1

すると、(3.26)から、
\frac{dW}{d\omega} = \frac{2e^2}{3\pi c^3} |\Delta \mathbf{v}|^2 , \omega\tau \ll 1
= 0 , \omega\tau \gg 1

[(5.5)の次の式の導出]
機動に垂直に受ける力積を計算すると導ける。
m\Delta v = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{Ze^2}{(b^2+v^2t^2)}\cdot \frac{b}{(b^2+v^2t^2)^{1/2}} dt
積分は、t=\frac{b}{v}\tan\thetaと置き換えればすぐできる。

[(5.7)の導出]
各bについてn_ev \times 2\pi bdb \times n_i個の電子が放射する。
各電子が、\frac{dW(b)}{d\omega}のエネルギースペクトルを放射するので、(5.7)のようにbで積分することができる。

[(5.8)について]
b_{max}は、b \ll v/\omegaが適用できる範囲の最大値。
ln内にあるので、b_{max} \equiv \frac{v}{\omega}としても誤差は小さいと考える。

[b_minの求め方]
２つの方法がある。

(1)\Delta v \sim vよりも速度変化が大きくなると、直線であるという条件が満たされないので、ここを下限とする。
b_{min}^{(1)} = \frac{4Ze^2}{\pi mv^2}

(2)不確定性原理から、\Delta x \Delta p \leq \hbarで、\Delta x \sim bと\Delta p \sim mvと取って、ここを下限とする。
b_{min}^{(2)} = \frac{h}{mv}

b_{min}^{(1)} \gg b_{min}^{(2)}の場合、
\frac{4Ze^2}{\pi mv^2} \gg \frac{h}{mv}
v \ll \frac{4Ze^2}{\pi h}
\frac{1}{2}mv^2 \ll \frac{1}{2}m \cdot \frac{16Z^2e^4}{\pi^2h^2} \sim Z^2\frac{me^4}{2\hbar^2} = Z^2Ryのとき
b_{min}=b_{min}^{(1)}

b_{min}^{(1)} \ll b_{min}^{(2)}の場合、
\frac{1}{2}mv^2 \gg Z^2Ryのとき
b_{min} = b_{min}^{(2)}

5.2 THERMAL BREMSSTRAHLUNG EMISSION

[(5.13)からその下の式の計算]
(5.13)は、Maxwell分布の話。
この分布に従って、(5.11)の期待値を求めるのが、(5.13)の下の式。

分子を計算すると、v_{min}=\left(\frac{2h\nu}{m}\right)^{1/2}として、
\int_{v_{min}}^{\infty} \frac{16\pi e^6}{3\sqrt{3}c^3m^2}n_en_iZ^2g_{ff}(v,\omega ) v \exp(-mv^2/2kT)dv
=\frac{16\pi e^6}{3\sqrt{3}c^3m^2}n_en_iZ^2\int_{v_{min}}^{\infty}g_{ff}v\exp(-mv^2/2kT)dv
=\frac{16\pi e^6}{3\sqrt{3}c^3m^2}n_en_iZ^2\bar{g}_{ff}\int_{v_{min}}^{\infty}v\exp(-mv^2/2kT)dv
=\frac{8\pi e^6}{3\sqrt{3}c^3m^2}n_en_iZ^2\bar{g}_{ff}\frac{2kT}{m}\exp (-mv_{min}^2/2kT)

分母を計算すると、t=\sqrt{\frac{m}{2kT}}vと置き換えると、計算できて、
\int_0^{\infty} v^2\exp(-mv^2/2kT)dv = \left(\frac{2kT}{m}\right)^{3/2}\int_0^{\infty}t^2\exp (-t^2)dt
=\left(\frac{2kT}{m}\right)^{3/2}\cdot \frac{\sqrt{\pi}}{4}

よって、d\omega = 2\pi \nuの2\piを加味すると、
\frac{dW}{dVdtd\nu}=\frac{8\pi e^6}{3\sqrt{3}c^3m^2}n_en_iZ^2\bar{g}_{ff} \left(\frac{m}{2kT}\right)^{1/2}\frac{4}{\sqrt{\pi}} \exp\left(- \frac{h\nu}{kT} \right) \times 2\pi
=\frac{2^5\pi e^6}{3mc^3}\left(\frac{2\pi}{3mk}\right)^{1/2}T^{-1/2}Z^2n_en_i \exp\left(- \frac{h\nu}{kT} \right)
と、(5.14a)が導ける。

[(5.15a)の導出]
\int_0^{\infty} e^{-h\nu /kT} \bar{g}_{ff}d\nu = \bar{g}_B\left[-\frac{kT}{h}e^{-h\nu /kT}\right]_0^{\infty}=\bar{g}_B\frac{kT}{h}
より、
\frac{dW}{dtdV} = \frac{2^5 \pi e^6}{3mc^3}\left(\frac{2\pi}{3km}\right)^{1/2}T^{-1/2}Z^2n_en_i\bar{g}_B\frac{kT}{h}
= \frac{2^5 \pi e^6}{3hmc^3}\left(\frac{2\pi kT}{3m}\right)^{1/2} Z^2n_en_i\bar{g}_B


5.3 THERMAL BREMSSTRAHLUNG (FREE-FREE) ABSORPTION

[(5.17)について]
この式は、等方放射を仮定している。

5.4 RELATIVISTIC BREMSSTRAHLUNG

ここら辺は、変形ベッセル関数のところを再確認してからかな。
Compton散乱も絡んでくるので、そこを終わってからでもいいか。
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最終更新：2013年03月02日 09:02