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相対性理論(パウリ)

  • 第I編 特殊相対性理論の基礎

ここまでは、計算するだけ。
悩むことはないかな。

  • 第II編 数学的準備

  • §8 ローレンツ群の拡張

(A)ローレンツ群

s^2 = (x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2+(x^4)^2
を普遍とする変換

(B)アフィン群

１次変換の全体。

(C)分数式で表された１次同次変換からなる射影変換群

(D)あらゆる点変換の全体からなる群

(E)ワイル群

  • §9 アフィン変換に対するテンソル解析

[(24)式の証明]
(22)(23)から
x^{\prime i} = \alpha_k^{\ i} x^k = \alpha_k^{\ i} \bar{\alpha}_r^{\ k} x^{\prime r}
係数比較より、
\delta_k^i = \alpha_r^{\ i} \bar{\alpha}_k^{\ r}

また、
x^k = \bar{\alpha}_i^{\ k} x^{\prime i} = \bar{\alpha}_i^{\ k} \alpha_r^{\ i} x^r
係数比較より、
\delta_k^i = \bar{\alpha}_r^{\ i} \alpha_k^{\ r}

  • §11 ”面テンソル”と”立体テンソル”、４次元体積

ここがよく理解できないのだな。
頑張ろう。

\xi^{ik} = x^iy^k - x^ky^i \tag{44}

  • §12 デュアル・テンソル

ここがよく理解できないのだな。
頑張ろう。

任意の面素片
\xi^{ik} = x^iy^k - x^ky^i \tag{54}
に対して、必ず一つの特別な次のような性質を持つ面素片が存在する。

後者は前者に垂直であるという関係である。
つまり一方の面素片上にのっている任意の直線は必ず他の面素片上にある全ての直線に垂直である。
\xi^{ik}に対して、このような意味で直交している面素片で、さらにその面積が\xi^{ik}の面積と同じ大きさの時、その面素片は\xi^{ik}にデュアルであると呼ばれる。
\xi^{ik}にデュアルな面素片は、
\xi^{*ik} = x^{*i}y^{*k} - x^{*k}y^{*i}
により与えられる。

ただし、x^{*i}、y^{*k}は、いずれも、x^{i}、y^{i}の両方に対して垂直である。
x_{\ i}^{*}x^i = 0, \quad x_{\ i}^{*}y^i = 0, \quad y_{\ i}^{*}x^i = 0, \quad y_{\ i}^{*}y^i = 0

簡単な計算により、\xi^{*ik}の成分は、\xi_{ik}から直接にその添字に偶置換を施すことによって導けることがわかる。
（なぜ？？？）
ただし、\sqrt{g}あるいは、1/\sqrt{g}という因数をかけることが必要である。

(54a)と(54b)の導出がわかりません。

今まで述べたことは、\xi~{ik}が(44)という形の場合の関係式や定義である。
しかし、一般の面テンソルの場合でも、(54a)(54b)で定義された\xi^{*ik},\xi_{\ ik}^*を\xi_{ik}にデュアルなテンソルという。

一般の面テンソルとデュアルなテンソルのスカラー積を(48)の定義に従って計算すると、次のような簡単な形の不変量となる。
J = \frac{1}{2}\xi_{ik}\xi^{*ik} = \frac{1}{\sqrt{g}}(\xi_{12}\xi{34} + \xi_{13}\xi_{42} + \xi_{14}\xi_{23}) \tag{46a}

  • §14 ベクトルの平行移動の概念

[(68)式の導出]
(67)より、
\frac{dg_{ik}}{dt}\xi^i\xi^k + g_{ik}\frac{\xi^i}{dt}\xi^k +g_{ik}\xi^i\frac{\xi^k}{dt}=0
(64)を代入すると、
\frac{dg_{ik}}{dt}\xi^i\xi^k + g_{ik}\left(-\Gamma_{rs}^i\frac{dx^s}{dt}\xi^r\right)\xi^k +g_{ik}\xi^i\left(-\Gamma_{rs}^k\frac{dx^r}{dt}\xi^s\right)=0
\frac{dg_{ik}}{dt}\xi^i\xi^k - \Gamma_{k,rs}\frac{dx^s}{dt}\xi^r\xi^k - \Gamma_{i,rs}\frac{dx^s}{dt}\xi^i\xi^r = 0
\frac{dg_{ik}}{dt}\xi^i\xi^k - \Gamma_{k,is}\frac{dx^s}{dt}\xi^i\xi^k - \Gamma_{i,ks}\frac{dx^s}{dt}\xi^i\xi^k = 0
よって、kをrに置き換えて、
\frac{\partial g_{ir}}{\partial x^s} = \Gamma_{r,is} + \Gamma_{i,rs} \tag{68}

[(72)式の導出]
g = \mathrm{det}|g_{ik}| \tag{26}
g_{i\alpha}g^{k\alpha} = \delta_i^k \tag{27}

(27)の微分をとると、
dg_{i\alpha}g^{k\alpha}+g_{i\alpha}dg^{k\alpha}=0
すると、
g_{i\alpha}dg^{k\alpha} = -dg_{i\alpha}g^{k\alpha}
両辺にg^{i\beta}をかけると、g_{i\alpha}g^{i\beta} = \delta_{\alpha}^{\beta}より、
\delta_{\alpha}^{\beta}dg^{k\alpha} = - g^{i\beta}g^{k\alpha}dg_{i\alpha}
dg^{k\beta} = -g^{i\beta}g^{k\alpha}dg_{i\alpha}
変数の置換えをすると、
dg^{ik} = - g^{ir}g^{ks}dg_{rs}
となる。

第２式も同様にして導ける。

[(73)式の導出]
(26)にg^{ik}をかけると
gg^{ik} = g^{ik}\mathrm{det}|g_{ik}| = \tilde{g}_{ik}
両辺の微分を取ると
dgg^{ik}+gdg^{ik} = 0
g^{ik}dg = - gdg^{ik}
両辺にg_{ik}をかけると
dg = - gg_{ik}dg^{ik}

第１等号も同様にして導ける。

[(75)式の導出]
(71)式でk->sとすると、
\frac{\partial g^{is}}{\partial x^s} + g^{ir}\Gamma_{rs}^s + g^{sr}\Gamma_{rs}^i=0
(74)式を使うと、
\frac{\partial g^{is}}{\partial x^s} + g^{ir}\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial \sqrt{g}}{\partial x^r} + g^{rs}\Gamma_{rs}^i=0
\frac{1}{\sqrt{g}}\left(\frac{\partial g^{ik}}{\partial x^k}\sqrt{g}\right) +\frac{1}{\sqrt{g}}\left(g^{ik}\frac{\partial \sqrt{g}}{\partial x^k}\right) + g^{rs}\Gamma_{rs}^i = 0
\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial \{ \sqrt{g} g^{ik} \} }{\partial x^k} + g^{rs}\Gamma_{rs}^i = 0


[(78)式の第２等号]
なぜこうなるのかわからないが。
(69)式から考えると、こうはならないと思うのだが・・・。

[(85)(86)の導出]
(64)式を使う。
\Delta\xi^h = \frac{\partial \xi^h(u,v)}{\partial u}\Delta u + \frac{\partial \xi^h(u+\Delta u,v)}{\partial v}\Delta v
\quad - \frac{\partial \xi^h(u,v+\Delta v)}{\partial u}\Delta u - \frac{\partial \xi^h(u,v)}{\partial v}\Delta v
= - \Gamma_{\ rs}^h(u,v) \frac{\partial x^s}{\partial u}\xi^r(u,v)\Delta u - \Gamma_{\ rs}^h(u+\Delta u, v) \frac{\partial x^s}{\partial v}\xi^r(u+\Delta u,v)\Delta v
\quad + \Gamma_{\ rs}^h(u,v+\Delta v) \frac{\partial x^s}{\partial u}\xi^r(u,v+\Delta v)\Delta u + \Gamma_{\ rs}^h(u,v) \frac{\partial x^s}{\partial v}\xi^r(u,v)\Delta v
よって、
\lim_{\Delta u,\Delta v \rightarrow 0} \frac{\Delta \xi^h}{\Delta u \cdot \Delta v}
= \frac{\partial x^s}{\partial u}\frac{\partial (\Gamma_{\ rs}^h\xi^r)}{\partial v} - \frac{\partial x^s}{\partial v}\frac{\partial (\Gamma_{\ rs}^h\xi^r)}{\partial u}
= \frac{\partial x^s}{\partial u}\frac{\partial \Gamma_{\ rs}^h}{\partial v} \xi^r + \frac{\partial x^s}{\partial u} \Gamma_{\ rs}^h\frac{\partial \xi^r}{\partial v}
\quad - \frac{\partial x^s}{\partial v}\frac{\partial \Gamma_{\ rs}^h}{\partial u} \xi^r - \frac{\partial x^s}{\partial v} \Gamma_{\ rs}^h\frac{\partial \xi^r}{\partial v}
= \frac{\partial \Gamma_{\ ij}^h}{\partial x^k}\frac{\partial x^j}{\partial u}\fra{\partial x^k}{\partial v} \xi^i - \Gamma_{\ rs}^h \frac{\partial x^s}{\partial u}\Gamma_{\ \alpha\beta}^r\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial v}\xi^{\beta}
\quad - \frac{\partial \Gamma_{\ ik}^h}{\partial x^j}\frac{\partial x^k}{\partial v}\fra{\partial x^j}{\partial u} \xi^i + \Gamma_{\ rs}^h \frac{\partial x^s}{\partial v}\Gamma_{\ \alpha\beta}^r\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial u}\xi^{\beta}
= \frac{\partial \Gamma_{\ ij}^h}{x^k} \xi^i\frac{\partial x^j}{\partial u}\frac{\partial x^j}{\partial v} - \Gamma_{\ j\alpha}^h\Gamma_{\ ki}^{\alpha}\xi^i\frac{\partial x^j}{\partial u}\frac{\partial x^j}{\partial v}
\quad - \frac{\partial \Gamma_{\ ik}^h}{\partial x^j}\xi^i\frac{\partial x^j}{\partial u}\frac{\partial x^j}{\partial v} + \Gamma_{\ k\alpha}^h\Gamma_{\ ji}^{\alpha}\xi^i\frac{\partial x^j}{\partial u}\frac{\partial x^j}{\partial v}
= \left(\frac{\partial \Gamma_{\ ij}^h}{x^k}- \frac{\partial \Gamma_{\ ik}^h}{\partial x^j} + \Gamma_{\ k\alpha}^h\Gamma_{\ ji}^{\alpha} - \Gamma_{\ j\alpha}^h\Gamma_{\ ki}^{\alpha} \right)\xi^i\frac{\partial x^j}{\partial u}\frac{\partial x^j}{\partial v}
となる。

[(89)の導出]
(70)式を使う。
\Delta \xi_h = \frac{\partial \xi_h(u,v)}{\partial u}\Delta u + \frac{\partial \xi_h(u+\Delta u,v)}{\partial v}\Delta v
\quad - \frac{\partial \xi_h(u,v+\Delta v)}{\partial u}\Delta u - \frac{\partial \xi_h(u,v)}{\partial v}\Delta v
= - \Gamma_{r,hs}(u,v) \frac{\partial x^s}{\partial u}\xi^r(u,v)\Delta u - \Gamma_{r,hs}(u+\Delta u, v) \frac{\partial x^s}{\partial v}\xi^r(u+\Delta u,v)\Delta v
\quad - \Gamma_{r,hs}(u,v+\Delta v) \frac{\partial x^s}{\partial u}\xi^r(u,v+\Delta v)\Delta u - \Gamma_{r,hs}(u,v) \frac{\partial x^s}{\partial v}\xi^r(u,v)\Delta v
よって、(64)式を用いると、
\lim_{\Delta u,\Delta v \rightarrow 0} \frac{\Delta \xi_h}{\Delta u \cdot \Delta v}
= - \frac{\partial x^s}{\partial u}\frac{\partial (\Gamma_{r,hs}\xi^r)}{\partial v} + \frac{\partial x^s}{\partial v}\frac{\partial (\Gamma_{r,hs}\xi^r)}{\partial u}
= - \frac{\partial x^s}{\partial u}\frac{\partial \Gamma_{r,hs}}{\partial v} \xi^r - \frac{\partial x^s}{\partial u} \Gamma_{r,hs}\frac{\partial \xi^r}{\partial v}
\quad \frac{\partial x^s}{\partial v}\frac{\partial \Gamma_{r,hs}}{\partial u} \xi^r + \frac{\partial x^s}{\partial v} \Gamma_{r,hs}\frac{\partial \xi^r}{\partial u}
= - \frac{\partial x^s}{\partial u}\frac{\partial \Gamma_{r,hs}}{\partial x^k}\frac{\partial x^k}{\partial v} \xi^r + \frac{\partial x^s}{\partial u} \Gamma_{r,hs}\Gamma_{\ \alpha\beta}^r \frac{\partial x^{\beta}}{\partial v}xi^{\alpha}
\quad + \frac{\partial x^s}{\partial v}\frac{\partial \Gamma_{r,hs}}{\partial x^j}\frac{\partial x^j}{\partial u} \xi^r - \frac{\partial x^s}{\partial v}\Gamma_{r,hs}\Gamma_{\ \alpha\beta}^r\frac{\partial x^{\beta}}{\partial u}\xi^{\alpha}
= - \frac{\partial \Gamma_{i,hj}}{\partial x^k}\xi^i\frac{\partial x^j}{\partial u}\frac{\partial x^k}{\partial v} + \Gamma_{\alpha ,hj}\Gamma_{\ ik}^{\alpha}\xi^i\frac{\partial x^j}{\partial u}\frac{\partial x^k}{\partial v}
\quad + \frac{\partial \Gamma_{i,hk}}{\partial x^j}\xi^i\frac{\partial x^j}{\partial u}\frac{\partial x^k}{\partial v} - \Gamma_{\alpha ,hk}\Gamma_{\ ij}^{\alpha}\xi^i\frac{\partial x^j}{\partial u}\frac{\partial x^k}{\partial v}
= \left(\frac{\partial \Gamma_{i,hk}}{\partial x^j} - \frac{\partial \Gamma_{i,hj}}{\partial x^k} + g^{\alpha\beta}(\Gamma_{\alpha ,hj}\Gamma_{\beta ,ik}- \Gamma_{\alpha ,hk}\Gamma_{\beta ,ij}) \right)
$$\quad \times \xi^i\frac{\partial x^j}{\partial u}\frac{\partial x^k}{\partial v}
第２等号は、(69)式を使うと、すぐ計算できる。

[(90)(91)の導出]
(90)式は、ベクトルの最初の定義から考えれば、すぐ出てくる。
すると、(91)もわかる。

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最終更新：2013年03月25日 11:41