3°の倍数の角度の正弦、余弦、正接の値は、定規とコンパスにてQ上作図可能ということが知られている。
これは３６０°の１２０等分ができること、つまり正１２０角形が定規とコンパスで作図できることによる。
それは120=23×3×5
であって、3=1+21,5=1+22の奇素数だからである。
3°の倍数の角の正弦・余弦・正接の真の値のpdfを下のところに載せておきます。
ここでは、下のpdfに
sin3°=cos87°, cos3°=sin87°, sin6°=cos84°, cos6°=sin84° , sin9°=cos81°,
cos9°=sin81° , sin12°=cos78°,cos12°=sin78°,sin15°=cos75°,cos15°=sin75°,
sin18°=cos72°,cos18°=sin72°,sin21°=cos69°,cos21°=sin69°,
sin24°=cos66°,cos24°=sin66°,sin27°=cos63°,cos27°=sin63°,sin30°=cos60°,
cos30°=sin60°,sin33°=cos57°,cos33°=sin57°,sin36°=cos54°,cos36°=sin54°,
sin39°=cos51°,cos39°=sin51°,sin42°=cos48°,cos42°=sin48°,sin45°=cos45°
の真の値をまず記す。
また
tan(90°-θ)=cotθより、cot(90°-θ) =tanθも出るが、これを使って
tan3°=cot87°,tan6°=cot84°,tan9°=cot81°,tan12°=cot78°,tan15°=cot75°,
tan18°=cot72°,tan21°=cot69°,tan24°=cot66°,tan27°=cot63°,tan30°=cot60°,
tan33°=cot57°,tan36°=cot54°,tan39°=cot51°,tan42°=cot48°,tan45°=cot45°,
tan48°=cot42°,tan51°=cot39°,tan54°=cot36°,tan57°=cot33°,tan60°=cot30°,
tan63°=cot27°,tan66°=cot24°,tan69°=cot21°,tan72°=cot18°,tan75°=cot15°,
tan78°=cot12°,tan81°=cot9° , tan84°=cot6° ,tan87°=cot3° の真の
値も出てくる。これらの値も下のpdfに書いておいた。計算は2006年までに終了した。
関数電卓でこれらの値を検算してあるので間違いはないと思う。皆さんも試してください。例えば
sin6°=[ー(√5+1)+√3{√(10ー2√5)}]/8 ,
cos27°=√2{(√5ー1)+√(10+2√5)}/8,
sin33°=√2{(√3+1)(√5ー1)+(√3ー1)√(10+2√5)}/16 などと、
tan9° =(√5+1)ー√(5+2√5), tan27°=(√5ー1)ー√(5ー2√5),
tan63°=(√5ー1)+√(5ー2√5), tan81°= (√5+1) +√(5+2√5) である。このように、
２重根号の組み合わせ、つまり２重根号による逐次拡大の元として表せる。
これらの形から、ただ、単に計算しただけでなく、Galois群(ガロア群)とその同型対応も、
考えてみた。
ただ断っておくが、そのことは一部について計算したのみでその後計算しなかった。
一例として、xの４次の相反方程式
x4ー4x3ー14x2ー4x+1=0 ・・・(1) の左辺は有理数体Q上既約で、(1)
の
４つのQ上の共役解は、
T={tan81°,ーtan27°,tan9°,ーtan63°}であり、QにTを添加したQの正規拡大体
L=Q(tan81°,ーtan27°,tan9°,ーtan63°)はQ上単純拡大体で
L=Q(tan81°)=Q(√(5+2√5))となる。また、そのGalois群はZ4(位数４の巡回群)である。
そして
tan27°=ー1/2tan281°+3tan81°+3/2
tan63°=ーtan381°+(9/2)tan281°+12tan81°ー3/2
tan9°=ーtan381°+4tan281°+14tan81°+4
などが成り立つ。これらについては関数電卓などで検算していただきたい。代数拡大体の理論によれば、
tan27°,tan63°,tan9°をtan81°の３次以下の多項式として表すときの有理数体Q上の係数は一意的で
これ以外にはない。これらは大分前に計算したので思い出しながら発表して行きたいと思う。
