&counter(total)
四面体の外心のベクトルによる重心座標表現(6辺による表示）
（注意：これは、他のブログに載せたものです。管理人より）
(1)ここでは四面体ABCDの「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」を
その６辺の長さ BC=ａ，CA=b，AB=c，AD=d，BD=e，CD=fを用いて与える。
これは2006年の10月8(日)に完成した。これらはすべて手計算で行った。
(2)
この公式を述べた後に、
具体的に「四面体ABCD」の6辺の長さを与えて、
「四面体ABCD」を構成して、その「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」を求めてみる。
また今度ということになるだろう。
<記法の約束>：行列J(3)を四面体の「垂心Ｈ」の場合と「同じ」とする。
また「ベクトル AB」を(→AB)で表すことにし、(→AB)と(→AC)との「内積」を
(（→AB）,（→AC))で表すことにする。Emでm次元ユークリッド空間を表すものとする。
[記号1.1]
2K＝a2d2×((→DC),（→DB))＋b2e2((→CB),（→CD))＋c2f2×((→BD),（→BC))
―a2e2f2 ・・・(1.1.1)
2L＝a2d2×((→CD),（→CA))＋b2e2×((→DA),（→DC))＋c2f2×((→AC),(→AD))
―d2b2f2 ・・・(1.1.2)
2M＝a2d2×((→BA),（→BD))＋b2e2((→AD),（→AB))＋c2f2×((→DB),(→DA))
―d2e2c2 ・・・(1.1.3)
2N＝a2d2×((→AB),（→AC))＋b2e2×((→BC),（→BA))＋c2f2×((→CA),(→CB))
―a2b2c2 ・・・(1.1.4)
とおくとGooの[[ブログ]]の「四面体ABCDの垂心」の「命題5.1」により、
4K＝a2d2(e2＋f2―a2)＋b2e2(f2＋a2―e2)＋c2f2(a2＋e2―f2)
―2a2e2f2 ・・・(1.1.5)
4L＝a2d2(b2＋
f2―d2)＋b2e2(f2＋d2―b2)＋c2f2(d2＋b2―f2)
―2d2b2f2 ・・・(1.1.6)
4M＝a2d2(e2＋c2―d2)＋b2e2(c2＋d2―e2)＋c2f2(d2＋2―c2)
―2d2e2c2
・・・(1.1.7)
4N＝a2d2(b2＋c2―a2)＋b2e2(c2＋a２―b2)＋c2f2(a2＋2―c2)
―2a2b2c2
・・・(1.1.8)
<この式の特徴を以下に説明する。>
まず、(aとd)が対辺，(bとe)が対辺，(cとf)が対辺である。2Kでは
第1項はa2d2が括弧の前にきている。そして「頂点Aの対面△BCD」の3辺に
関係した「内積」の3つ((→DC),（→DB))，((→CB),（→CD))，((→CD),（→CA))の内
どれかを掛けている。第2項はb2e2がきて、第3項はc2f2がきて・・・、
引く項は「頂点Aの対面△BCD」の3辺a，e，fの2乗の積である。
以下2L,2M，2Nも同様である。
そして4Kではa2d2に掛けるものは、(・・・―a2) か(・・・―d2)の
どちらかがくるのだが、△BCDに関係した「内積」なので、(・・・―d2)はあり得ない。
よって(e2＋ f2―a2)と考えて作りだせばよいのである。
「補題1.2」
Vを四面体ABCDの「体積」とする。このとき、
4detJ(3)＝4(3!×V)2
＝(ad)(b2＋e2＋c2＋f2―a2―d2)＋b2e2(c2＋f2＋a2＋d2―b2―e2)
＋c2f2(a2＋d2＋b2＋e2―c2―f2)―(a2e2f2＋d2b2f2＋c2d2e2＋a2b2c2)
・・・(1.2.1)
この公式の覚え方は次のようである。(aとd)が対辺，(bとe)が対辺，(cとf)が
対辺であることに着目する。b2＋e2とc2＋f2とa2＋d2の3組を加えて引いて
巡回的に変えるのである。そして符号が「―」になるのはa２d２に掛けてある部分では、
a２とd２で、b2e2に掛けてある部分ではb2とe2、・・・
という具合である。
この「証明」自体はここでは示さない。ただ普通にやると大変である。
これらの一般的な「n次元単体の場合の計算」の簡単な方法は2008.6に完成した。
また今度書くことにする。
それでは、「四面体ABCD」の「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」を述べる。
[定理1.3]
mを3以上の自然数、四面体ABCD⊆E3⊆Emとして、任意の点PをEm内にとる。
そのとき,
「四面体ABCD」の「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」は
（→PＯ）=1/({2detJ(3)}×[K（→PA)＋L（→PB)＋M（→PC)＋N（→PD)] ・・・(1.3.1)
＝1/{8detJ(3)}×[a2d2(e2＋f2―a2)＋b2e2(f2＋a2―e2)＋c2f2(a2＋e2― f2)―2a2e2f2]（→PA)
＋1/{8detJ(3)}×[a2d2(b2＋f2―d2)＋b2e2(f2＋d2―b2)＋c2f2(d2＋b2―
f2)―2d2b2f2]（→PB)
＋1/{8detJ(3)}×(a2d2(e2+c2－d2)＋b2e2(c2＋d2－e2)＋c2f2(d2＋e2－c2)―2d2e2c2](→PC)
＋1/{8detJ(3)}×[a2d2(b2+c2―a2)＋b2e2(c2＋a2―b２)＋c2f2(a2＋b2―c2)―2a2b2c2](→PD)
・・・(1.3.2)
「行列式」の性質を巧みに使用して、前から私が
指摘しているように「内積」を重視して「計算を証明した」のである。
2007年11月3日(土)に「一般のn次元単体にも通用する」着想を得て、
「n次元単体」の「外心Ｏ(n)」の「ベクトルによる重心座標表現」とその
「(nー１)次元の外接球面の半径R(n)の2乗」ができそうだと思った。
頭の中であれこれ思いをめぐらしていたが計算をしなかった。しばらく
研究しなかったが2008年5月より始めワープロを打っていて2008年6月28(土）に完成した。
非常に簡潔な公式であることだけいっておこう。例えば、
「命題1.4]
「四面体ABCD」の「2次元の外接球面の半径R(3)の2乗」は、
{R(3)}2=1/{16detJ(3)}×(ad＋be＋cf)(ad＋be―cf)(be＋cf―ad)(cf＋ad―be)
・・・(1.4.1) である。
なお、四面体の残る「内心」「傍心」の「ベクトルによる重心座標表現」については、
2007年9月1日(土)までに完成した。
これらについても少しずつ書き記してゆく。
（「内心」については昔から元名古屋大学の「栗田 稔」先生の公式があった。それの
分かりやすい証明方法を完成したと自分では思っている）
また「補題1.2」そのほかにおいて「数学セミナー」での「山村 健」先生の記事が
大いに参考になったことを述べておく。
