三角形の外心の重心座標表現 - 春がきて、朝がきた。楽しい一日が始まる

三角形の外心のベクトルによる「重心座標表現」

 

「ベクトル　ＡＢ」をここでは　(→ＡＢ)で表すことにする。

三角形ＡＢＣの「外心」を「外心Ｏ」とし、「垂心Ｈ」の場合と同様に、

xを (→ＡＢ)と(→ＡＣ)との「内積」とする。

 

x=((→ＡＢ)，(→ＡＣ))、同様に y=((→ＢＡ)，(→ＢＣ))，z=((→ＣＡ)，(→ＣＢ))である。

このとき、x＋y=c²，x＋z=b²，y＋z=a²　・・・(2．1）で

　x=(b²＋c²―a²)/2，y=(c²＋a²―b²)/2，z=(a²＋b²―c²)/2・・・(2．2）

 

   yz＋xz＋xy＝4(Ｓ^2）・・・(2．3）であった。

さらに　∠BAC=Ａなることと「内積」の定義から　x=((→ＡＢ)，(→ＡＣ))

　　=(ＡＢ)(ＡＣ)cos∠BAC＝cbcosＡ　すなわち、

　x=bccosＡ，同様にy=cacosＢ，z=abcosＣ　・・・(2．4）である.

また、Ｓを△ＡＢＣの面積として 　2Ｓ=bcsinＡ=casinＢ=absinＣ　・・・(2．5）
三角形ＡＢＣ⊂Ｅ²⊂Ｅ^mとする。ここにm≧２とし、Ｅ^mは m次元ユークリッド空間とする。
さて、「外心Ｏ」の△ＡＢＣに関する 「ベクトルによる重心座標表現」を述べる。
点ＰをＰ∈Ｅ^mなる任意の点としたとき、

（あ） 　三角関数の表示では、
  (→ＰＯ) =1/(4sinＡsinＢsinＣ)×{sin２Ａ(→ＰＡ)＋sin２Ｂ(→ＰＢ)＋sin２Ｃ(→ＰＣ)}・・・(2．6）
であって、簡単な計算で 　　　sin２Ａ＋sin２Ｂ＋sin２Ｃ=４sinＡsinＢsinＣ　・・・(2．7）
となるので　(2．5）は「係数の和＝１」となる「ベクトルによる重心座標表現」である。

（い） 　「内積」による表示では、
  (→ＰＯ)=1/(8S²){x（y+z)((→ＰＡ)＋y(x+z)(→ＰＢ)+z(x+y)(→ＰＣ)} ・・・(2．8）
   このとき、(2．１）(2．2）から (y+z)x＋(x+z)y＋(x+y)z=8S²・・・(2．9）

が下の◎のように簡単に示されるので、(2．8）は「係数の和=1」の

「ベクトルによる重心座標表現」である。

（う） 　「３辺」a，b，cによる表示では、

（い）
(2.1)を使い、 y+z=a²,x+z=b²,x+y=c²  として

 (2．2）を用いて

 (→ＰＯ)
＝1/(16S²)× {a²(b²＋c²―a²)}(→ＰＡ)
＋1/(16S²)×{b²(c²＋a²―b²)(→ＰＢ)＋c²(a²＋b²―c²)(→ＰＣ)} ・・・(2．10)
となる。
これも「係数の和＝1」の「ベクトルによる重心座標表現」となることは(２．7）から明らかである。

◎　まず(2．9）は(2．3）から  x(y＋z)＋y(x＋z)＋z(x＋y)＝2(yz＋xz＋xy)=8S²
としてでてくる。

以上(あ)(い)(う)の３通りを示したが、「（い）から(あ)を」計算が少しいるが、次のように
導くことができる。(2．4）(2.5)　及び「2倍角の公式」を用いる。
8S²=2(2Ｓ)²=2(casinＢ)(absinＣ)=2a²bc(sinＢ)(sinＣ)
よって　1/(8S²)に代入すると　1/(8S²)=1/{2a²bc(sinＢ)(sinＣ)}だから

まず　1/(8S²)×(a²x)=1/{2a²bc(sinＢ)(sinＣ)}×a²x}
=x/2bc(sinＢ)(sinＣ)
=bc(cosＡ)/{2bc(sinＢsinＣ)}=cosＡ/(２sinＢsinＣ)
=2sinＡcosＡ/(4sinＡsinＢsinＣ)=sin2Ａ/(4sinＡsinＢsinＣ)
つまり、　　

　　　1/(8S²)×(a²x)=sin2Ａ/(4sinＡsinＢsinＣ)　・・・(2.11)となる。

　同様にして　1/(8S²)×(b²y)=sin2Ｂ/(4sinＡsinＢsinＣ)　・・・(2.12）

　　　　　　　1/(8S²)×(c²z)=sin2Ｃ/(4sinＡsinＢsinＣ)　・・・(2.13）

　ゆえに　（い）から（あ）がでてくる。 　この場合「計算」が、「垂心Ｈ」の時ほど容易ではなかった。

同様に(2．2）を使うと「（い）から(う)を」導くことができる。

　実際　(2．8）において

　　a²x＝a²(b²＋c²―a²)/2＝1/2{a²(b²＋c²―a²)}

　　b²y＝b²(c²＋a²―b²)/2＝1/2{(b²(c²＋a²―b²)}

　　c²z＝c²(a²＋b²―c²)/2＝1/2{c²(a²＋b²―c²)}

 

　よって　(2．8）は 　

(→ＰＯ) ＝

1/(16S²){a²(b²＋c²―a²)(→ＰＡ)＋b²(c²＋a²―b²)(→ＰＢ)＋c²(a²＋b²―c²)(→ＰＣ)} 　　となる。

 

☆　　最後に　図形的なことを述べておく。 （い）によれば,辺BA，AC，CB上、

　　　またはその延長上に点L，M，Nをそれぞれ

　　BN：NA=a²x：b²y、AM：MC=c²z：a²x

　　CL：LB=b²y：c²zとなるようにとったとき、 「直線AL、直線BM、直線CNは1点で交わり」

　　その点が「外心Ｏ」である。

　（あ）によれば、 　 BA，AC，CB上,またはその延長上に点L，M，Nをそれぞれ

　　　BN：NA=sin2A：sin2B、AM：MC=sin2C：sin2A 　　CL：LB＝sin2B：sin2Cの比に分ける点と

　　なるようにとったとき、

　　「直線AL、直線BM、直線CNは1点で交わり」、その点が「外心Ｏ」である。

　　また、（あ）のときは、△ＯＢＣ:△ＯＣＡ：△ＯＡＢ=sin2A：sin2B：sin2C

 

　　ただし　Ａ＝90度のような直角三角形のときは、sin2Ａ=0であるし、Ａが鈍角のときは

　　sin2A<0なので比に注意する必要がある。