四面体の外接球面の半径―垂心四面体について
<垂心四面体の外接球面の半径の公式>
(1) 「垂心四面体ABCD」を考え、記号は今までと同じとする。
すなわち、一般の「四面体ABCD」に対してa＝BC ，b＝CA ，c＝AB ，d＝AD ，e＝BE ，f=CD
とし、
「垂心四面体ABCD」に対しては
kは a^2＋d^2＝b^2＋e^2＝c^2＋f^2＝k^2 ・・・(1.1.1)を満たす正の数、
x＝((→AB)，(→AC))＝((→AB)，(→AD))＝((→AC)，(→AD))
y＝((→BA)，(→BC))＝((→BA)，(→BD)＝((→BC)，(→BD))
z＝((→CA)，(→CB))＝((→CA)，(→CD))＝((→CB)，(→CD))
z＝((→DA)，(→DB))＝((→DA)，(→DC))＝((→DB)，(→DC)) ・・・(1.1.2)
とおく。
このとき、x＋y＝c^2 ，x＋z＝b^2 ，x＋w=d^2 ，
y＋z＝a^2 ，y＋w＝e^2 ，z＋w＝f^2 ・・・(1.1.3)
そして detJ(3)＝(6v)^2＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz ・・・(1.1.４)
であった。
一般の「四面体ABCD」の「外接球面の半径 R(３)」を求める公式はは既に提示した。
次のようであった。
R(３)^2＝1/{16detJ(3)}×(ad＋be＋cf)(ad＋be―cf)(be＋cf―ad)(cf＋ad―be) ・・・(1.1.5)
これに対して
「垂心四面体ABCD」に対しては、その条件より、外接球面の半径 R(３)については
「 R(３)^2＝(k^2)/4―(xyzw)/{detJ(3)} ・・・(1.1.6) 」という簡単な公式になる。
これは、「垂心四面体ABCD」の「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座表表現」を
用いて、2008.10.10(金)に少し計算したら、求めることができた。
まだ「できたて、ホカホカ」の公式である。
計算していて「もうすぐ，公式ができそうだ」という感じは何ともいえない。
(2)
「垂心四面体ABCD」に対して、一つ見落としていたことがあった。
それは、(1.1.3)からすぐ分かることであるが、
x＋y＋z＋w＝k^2 ・・・(2.1.1) ということである。
「証明」
(1.1.1)と(1.1.3)から
x＋y＋z＋w＝(x＋y)＋(z＋w)＝c^2＋f^2＝k^2 となり
証明された。
（証明終わり）
そこで、(1.1.４)にも注意すると、
公式 (1.1.6)は
{R(３)}^2＝(x＋y＋z＋w)/4―(xyzw)/(yzw＋xzw＋xyw＋xyz) ・・・(2.1.2)
と全て 、x，y，z，wで表すことができる。
(3) (1.1.6)を用いて、10月の初めに与えた
「四面体の垂心・外心の重心座標表現の「具体例_第2」
BC＝a＝√2 ，CA＝b＝2 ，AB=c＝√3 ，AD＝d＝2√2 ，BD＝√6 ，CD＝√7 ・・・(2.1.3)
に対して、(1.1.5)を用いて
R(３)^2＝(5×5×84)/(67×8) ・(2.1.4)を導いた。
公式 (1.1.6)
R(３)^2＝(k^2)/4―(xyzw)/{detJ(3)}を
用いて 計算してみよう。
(k^2)＝a^2＋d^2＝(√2^2)＋(2√2)^2＝2＋8＝10 (2.1.7)
また 、x＝5/2 ，y＝1/2 ，z＝3/2 ，w=11/2
detJ(3)＝67/2 であったので、
R(３)^2＝(k^2)/4―(xyzw)/{detJ(3)}＝10/4―(5/2)(1/2)(3/2)(11/2)/(67/2)
＝5/2ー(5×3×11)/(67×8)＝{1/(67×8)}×(5×4×67―5×3×11)
={5/(67×8)}×(4×67―3×11)＝{5/(67×8)}×(268―33)
＝{5/(67×8)}×(235)＝{5/(67×8)}×(5×47)=(5×5×47)/(67×8)
となって( この計算により、前の結果の間違いに気がつきましたので、前の第2例も直しておきます）
R(３)^2＝(5×5×47)/(67×8)に一致する。
