幾何学再発見(瀬山 士郎 著）「シュタイナー・レームスの定理」の計算証明
◎ 幾何学再発見(瀬山 士郎 著）日本評論社 第9章のp109に「シュタイナー・レームスの定理」として、
次の[定理」が載っていて、「やさしそうで難しい定理の代表として、昔から有名である」
とある。
「定理」(シュタイナー・レームス)
三角形ABCの２つの角 ∠B ，∠Cの二等分線が対辺と交わる点をそれぞれD，Eとする。
このとき、BD＝CE なら △ABCは二等辺三角形である。
これは初等幾何で解くのではなく、ベクトルを使えば直接計算で証明できる。
2006年3月6(土）に証明した。
「証明」
AB＝c，BC＝a，CA＝b ， 2s＝a＋b＋c とおく。
直線BDは∠ABCの二等分線であるから CD：DA＝BC:BA＝a:c
よって (→BD)＝{a(→BA)＋c(→BC)}/(a＋c) より
(a＋c)2|(→BD)|2＝|a(→BA)＋c(→BC)|2
＝(ac)2＋2ac×|(→BA)|(→BC)|×cos∠ABC＋(ac)2
＝2(ac)2＋2ac×(ca)×(c2＋a2―b2)/(2ca)
［ 余弦定理による］
＝2(ac)2＋ac×(c2＋a2―b2)＝ac{2ac＋(c2＋a2―b2)}
＝ac{(a＋c)2―b2)}＝ac(a＋b＋c)(a＋c―b)
＝ac×2s×(2s―2b)＝4acs(s―b)
ゆえに |(→BD)|2＝4acs(s―b)/(a＋c)2 ・・・（1.1.1)
同様に
直線CEは∠ACBの二等分線であるから BE：EA＝CB:CA＝a:b
よって、 (→CE)＝{a(→CA)＋b(→CB)}/(a＋b) より
(a＋b)2|(→CE)|^2
＝a2(CA)2＋2ab×(a2＋b2ーc2)/2＋b2(CB)2
＝2(ab)2＋ab×(a2＋b2ーc2)
＝ab{(a+b)2―c2}＝4abs(s―c)
ゆえに |(→CE)|2＝4abs(s―c)/(a＋b)2 ・・・（1.1.2)
条件 |(→BD)|＝|(→CE)|は （1.1.1)と（1.1.2)から
4acs(s―b)(a＋b)2＝4abs(s―c)(a＋c)2 となる。
⇔ (a＋b)2×c(s―b)＝(a＋c)2×b(s―c)
⇔ (a＋b)2×cs―(a＋c)2×bs＝bc{(a＋b)2―(a＋c)2}
⇔ {(a＋b)2×c―(a＋c)2×b}s＝bc(b―c)(2a＋b＋c) ・・・（1.1.3)
ここで (a＋b)2×c―(a＋c)2×b＝(a2)(c―b)＋bc(b―c)＝(c―b)(a2―bc) ・・・（1.1.4)
一方 右辺＝bc(b―c)(2s＋a) ・・・（1.1.5)
よって （1.1.3)は
(c―b)(a2―bc)s＝bc(b―c)(2s＋a)
⇔ (b―c){bc(2s＋a)＋(a2―bc)s}＝0 ⇔(b―c){(a2＋bc)s＋abc}＝0
(a2＋bc)s＋abc>0 だから b＝c つまり AC＝AB よって 証明された。
(証明終わり）
