四面体の外心の重心座標表現の具体例(一般的な場合)例１
ここでは、6辺の長さを具体的に与えて、一般的と思える「四面体ABCD」を構成して、
その「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」を求める。
「例１」「垂心四面体でないもので、6辺の長さがみな異なるものを造る」
四面体ABCDの6辺の長さを例によって
BC＝a ，CA＝b ，AB＝c ，AD＝d ，BD＝e ，CD＝f で表す。
そこで
a＝BC＝√2 ， b＝CA＝√3 ，c＝AB＝2，
d＝AD＝3 ，e＝BD＝√10 ，f＝CD＝√11 ・・・(1.1.1) とおく。
まず
a２＋d2＝2＋9＝11 ，b2＋e2＝3＋10＝13 ，c2＋f2＝4＋11＝15
・・・(1.1.2) である。
よって a2＋d2，b2＋e2，c2＋f2は全て異なるので、
これで「四面体ABCD」ができたとき、どの「対辺同士」も
垂直ではない例となる。
(1) △ABCはできるか？
BC＝√2 ，CA＝√3 ， AB＝2 √2＜√3＜2で、
√2＋√3＞2 であって、(√2)2＋(√3)2＞22 であるから
△ABCはできて、鋭角三角形である。
(2) △ABDはできるか？
AB＝2 ，AD＝3，BD＝√10 2＜3＜√10で、
2＋3＞√10 であって、22＋32＞(√10)2 であるから
△ABDはできて、鋭角三角形である。
(3) △ACDはできるか？
AC＝√3，AD＝3 ，CD＝√11 √3＜3＜√11で、
√3＋3＞√11 であって、(√3)2＋32＞(√11)2 であるから
△ACDはできて、鋭角三角形である。
(4) △BCDはできるか？
BC＝√2，BD＝√10，CD＝√11 √2＜√10＜√11で、
√2＋√10＞√11 であって (√2)2＋(√10)2＞(√11)2 であるから
△BCDはできて、鋭角三角形である。
こうして4つの三角形はみな鋭角三角形になる。
(５) 四面体ABCDの「外心Ｏの重心座標表現」は次のようであった。
4K＝a2d2(f2＋e2―a2)＋b2e2(f2＋a2―e2)
＋c2f2(a2＋e2―f2)―2(aef)2 ・・・(5.1.1)
4L＝a2d2(b2＋f2)＋b2e2(f2＋d2―b2)
＋c2f2(d2＋b2―f2)―2(dbf)2 ・・・(5.1.2)
4M＝a2d2(e2＋c2―d2)＋b2e2(c2＋d2―e2)
＋c2f2(d2＋e2―c2)―2(dec)2 ・・・(5.1.3)
4N＝a2(d2(b2＋c2―a2)＋b2e2(c2＋a2―b2)
＋c2f2(a2＋b2―c2)―2(abc)2 ・・・(5.1.4) として
(→PＯ)＝1/{2detJ(3)}[K(→PA)＋L(→PB)＋M(→PC)＋N(→PD)]
＝1/{8detJ(3)}[4K(→PA)＋4L(→PB)＋4M(→PC)＋4N(→PD)] ・・・(5.1.5)
(5.1.5)は「ベクトルによる重心座標表現」だから、
4K＋4L＋4M＋4N＝8detJ(3) ・・・(5.1.6)が成り立っている筈。
4K，4L，4M，4Nを(5.1.1)〜(5.1.4)にて求めれば、detJ(3)＝(6V)^2も求まる筈である。
これらを計算するために、a2d2，b2e2，c2f2及び
(aef)2，(dbf)2，(dec)2，(abc)2 をまず求めよう。
a2d2＝(√2)232＝18 ，b2e2＝(√3)2)(√10)2＝30
c2f2＝22(√11)2＝44 ，(aef)2＝(√2√10√11)2＝220，
(dbf)2＝(3√3√11)2＝297 ，(dec)2＝(3√10×2)2＝360 ，
(abc)2＝(√2√3×2)2＝24 ・・・(5.1.7)
よって (5.1.1)は
4K＝18×(10＋11―2)＋30×(11＋2―10)＋44×(2＋10―11)―2×220
＝18×19＋30×3＋44×1―440＝342＋90＋44―440＝476―440＝36 ・・・(5.1.8)
また(5.1.2)は
4L＝18×(3＋11―9)＋30×(11＋9―3)＋44×(9＋3―11)―2×297
＝18×5＋30×17＋44×1―594＝90＋510＋44―594＝644―594＝50 ・・・(5.1.9)
(5.1.3)は
4M＝18×(10＋4―9)＋30×(4＋9―10)＋44×(9＋10―4)―2×360
＝18×5＋30×3＋44×15―720＝90＋90＋660―720＝840―720＝120 ・・・(5.1.10)
(5.1.4)は
4N＝18×(3＋4―2)＋30×(4＋2―3)＋44(2＋3―4)―2×24
＝18×5＋30×3＋44×1＝48＝90＋90＋44―48＝224―48＝176 ・・・(5.1.11)
これらを加えると
4K＋4L＋4M＋4N＝36＋50＋120＋176＝382＝2×191 ・・・(5.1.12)
よって (5.1.6)から 4detJ(3)＝191 ・・・(5.1.13)となるはずである。
そこで 4detJ(3)を計算しよう。 4detJ(3)を6辺で計算する式は、次の(6)
の(6.1.1) のように与えられる。
(6) (1.1.2)と(5.1.7)から
4detJ(3)＝(6V)^2＝a2d2(b2＋e2＋c2＋f2―a2―d2)
＋b2e2(c2＋f2＋a2＋d2―b2―e2)
＋c2f2(a2＋d2＋b2＋e2―c2―f2)
ー{(aef)2＋(dbf)2＋(dec)2＋(abc)2} ・・・(6.1.1)
＝18×(13＋15―11)＋30×(15＋11―13)＋44×(11＋13―15)
―(220＋297＋360＋24)
＝18×17＋30×13＋44×9―901＝306＋390＋396―901＝1092―901＝191・・・(6.1.2)
となって(5.1.13)と一致する。計算に間違いはないようである。
detJ(3)>0 だから (→AB)，(→AC)，(→AD)は一次独立となり、
「四面体ABCD」ができた。
(7) それでは、この四面体ABCDの「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」を書き下そう。
(5.1.7)〜(5.1.10)より、
mを3以上の自然数、四面体ABCD⊂E^3⊂E^mとし、任意の点P∈E^mをとったとき、
(→PＯ)＝1/{2detJ(3)}[K(→PA)＋L(→PB)＋M(→PC)＋N(→PD)]
＝1/{8detJ(3)}[4K(→PA)＋4L(→PB)＋4M(→PC)＋4N(→PD)] ・・・(7.1.1)
＝1/(2×191)[36(→PA)＋50(→PB)＋120(→PC)＋176(→PD)]
＝1/191[18(→PA)＋25(→PB)＋60(→PC)＋88(→PD)]
すなわち
(→PＯ)＝1/(191)[18(→PA)＋25(→PB)＋60(→PC)＋88(→PD)] ・・・(7.1.2) である。
(8)
この「四面体ABCD」の２次元の外接球面の半径 R(３)を求めてみよう。
（ア）公式を使用せずにやってみる。(→PD)の係数が大きいので、
(7.1.1)式において、P ⇒Dとして、
(→DＯ)＝1/(191)[18(→DA)＋25(→DB)＋60(→DC)] ・・・(8.1.1)となる。
R(３)＝|(→DＯ)|なので
1912R(３)2
＝(191)2|(→DＯ)|2＝|18(→DA)＋25(→DB)＋60(→DC)|2
＝182|(→DA)|2＋252|(→DB)|2＋602|(→DC)|2
＋2×18×25((→DA),(→DB))＋2×18×60((→DA),(→DC))＋2×25×60((→DB),(→DC))
＝(22)(32)×d2＋(54)(e2)＋(24)(32)(52)f2
＋2×18×25×(1/2)(d2＋e2―c2)
＋2×18×60×(1/2)(f2＋d2―b2)＋2×25×60×(1/2)(e2＋f2―a2)
＝(22)(34)×(32)＋(54)×10＋(24)(32)×11
＋18×25×(9＋10―4)＋60×18×(11＋9―3)＋60×25×(10＋11―2)
＝(22)(36)＋2×(55)＋(24)(32)(52)×11
＋18×25×15＋60×{18×17＋25×19}
＝(22)(32)×{34＋(22)×(52)×11}＋2(5)＋9×2×25×15＋60×(306＋475)
＝4×9(81＋1100)＋2×25×125＋50×9×15＋60×781
＝4×9×1181＋50×(125＋135)＋4×15×781
＝4×9×1181＋4×15×781＋4×25×2×65
＝4×(9×1181＋15×781)＋8×(25×65)
＝4×(10629＋11715)＋8×1625
＝4×22344＋8×1625＝8×(11172＋1625)
＝8×12797
すなわち 1912R(３)2＝8×12797 ・・・(8.1.2)
ところが、12797＝191×67 ・・・(8.1.3)と素因数分解できるのである！
よって (191)
1912R(３)2＝8×191×67
ゆえに R(３)2＝(8×191×67)/(191)2＝(8×67)/191
こうして R(３)2＝(8×67)/(191)
R(３)＝2√134/(√191) ・・・(8.1.3)となった。
（イ）公式を使うと簡単に求まる。公式は次のようであった。
R(３)2＝1/{16detJ(3)}(ad＋be＋cf)(ad＋be―cf)(be＋cｆ―ad)(cf＋ad―be)
よって
R(３)2＝1/(4×191)(√2×3＋√3√10＋2√11)(√2×3＋√3√10―2√11)
×(√3√10＋2√11―√2×3)(2√11＋√2×3―√3√10)
＝1/(4×191){(3√2＋√30)2―(2√11)2}{(2√11)2―(3√2―√30)2}
＝1/(4×191){18＋12√15＋30―44}{44―18＋12√15―30}
＝1/(4×191){12√15＋4}{12√15―4}＝{1/(4×191)}(4×4){3√15＋1}{3√15―1}
＝{1/(4×191)}(4×4){9×15―1}＝{1/(191)}×(4×134)＝(8×67)/191
すなわち R(３)2＝(8×67)/191
よって R(３)＝2√134/(√191)
(ア)（イ）を比較したとき、191と67がともに素数であったので、
(ア)の12797＝191×67がなかなか出てこないが、公式(イ）の形から191で割れると思って
12797を191で割ることを考えてみるのである。
◎ 以上、一つ目の「垂心四面体ではなくて、かつ6辺の長さがみな異なり
４つの面がみな鋭角三角形の一般的と思える四面体ABCDの例」を造ってみた。そして
その「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」と『外接球面」の半径R(3)を求めた。
☆ ここで、「四面体ABCD」ができることを、「前の垂心四面体の例でもそうだった」が
(６)で detJ(3)＞0を「最後に示して」、結論付けている。
次回は、この「例1」の「四面体ABCD」ができることを、detJ(3)を考えずに
「高校生の段階で分かる」ように、「図形的」または「幾何学的」な方法で証明してみよう。
