四面体の外心の重心座標表現の具体例(一般的な場合)例2
6辺の長さを具体的に与えて、一般的と思える「四面体ABCD」の第２の例を構成して、
その「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」を求める。
「例2」「垂心四面体でないもので、6辺の長さがみな異なるものを造る」
四面体ABCDの6辺の長さを例によって
BC＝a ，CA＝b ，AB＝c ，AD＝d ，BD＝e ，CD＝f で表す。
そこで
a＝BC＝√2 ， b＝CA＝√3 ，c＝AB＝2，
d＝AD＝√6 ，e＝BD＝2√2 ，f＝CD＝√5 ・・・(1.1.1) とおく。
まず
a2＋d2＝2＋6＝8 ，b2＋e2＝3＋8＝11 ，c＋f2＝4＋5＝9
・・・(1.1.2) である。
よって a2＋d2，b2＋e2，c2＋f2は全て異なるので、
これで「四面体ABCD」ができたとき、どの「対辺同士」も
垂直ではない例となる。
(1) △ABCはできるか？
BC＝√2 ，CA＝√3 ， AB＝2 ， √2＜√3＜2で、
√2＋√3＞2 であって、(√2)2＋(√3)2＞22 であるから
△ABCはできて、鋭角三角形である。
(2) △ABDはできるか？
AB＝2 ，AD＝√6，BD＝2√2 ， 2＜√6＜2√2で、
2＋√6＞2√2 であって、22＋(√6)2＞(2√2)2 であるから
△ABDはできて、鋭角三角形である。
(3) △ACDはできるか？
AC＝√3，CD＝√5 ，AD＝√6 ， √3＜√5＜√6で、
√3＋√5＞√6 であって、(√3)2＋(√5)2＞(√6)2 であるから
△ACDはできて、鋭角三角形である。
(4) △BCDはできるか？
BC＝√2，BD＝2√2，CD＝√5 ， √2＜√5＜2√2で、
√2＋√5＞2√2 であるが、 (√2)2＋(√5)2＜(2√2)2 であるから
△BCDはできて、これだけ鈍角三角形である。
こうして3つの三角形は鋭角三角形で，△BCDだけ∠BADが鈍角の鈍角三角形になる。
(５) 四面体ABCDの「外心Ｏの重心座標表現」は次のようであった。
4K＝a2d2(e2＋f2―a2)＋b2e2(f2＋a2―e2)
＋c2f2(a2＋e2―f2)―2(aef)2 ・・・(5.1.1)
4L＝a2d2(b2＋f2―d2)＋b2e2(f2＋d2ーb2)
＋c2f^(d2＋b2―f2)―2(dbf)2 ・・・(5.1.2)
4M＝a2d2(e2＋c2―d2)＋b2e2(c2＋d2―e2)
＋c2f2(d2＋e2―c2)―2(dec)2 ・・・(5.1.3)
4N＝a2d2(b2＋c2―a2)＋b2e2(c2＋a2―b2)
＋c2f2(a2＋b2―c2)―2(abc)2 ・・・(5.1.4) として
(→PＯ)＝1/{2detJ(3)}[K(→PA)＋L(→PB)＋M(→PC)＋N(→PD)]
＝{1/8detJ(3)}[4K(→PA)＋4L(→PB)＋4M(→PC)＋4N(→PD)] ・・・(5.1.5)
(5.1.5)は「ベクトルによる重心座標表現」だから、
4K＋4L＋4M＋4N＝8detJ(3) ・・・(5.1.6)が成り立っている筈。
4K，4L，4M，4Nを(5.1.1)〜(5.1.4)にて求めれば、detJ(3)＝(6V)2も求まる筈である。
これらを計算するために、a2d2，b2e2，c2f2及び
(aef)2，(dbf)2，(dec)2，(abc)2 をまず求めよう。
a2d2＝(√2)2(√6)2＝12 ，b2e2＝(√3)2(2√2)2＝24
c2f2＝22)(√5)2＝20 ，(aef)2＝(√2×2√2√5)2＝80，
(dbf)2＝(√6√3√5)2＝90 ，(dec)2＝(√6×2√2×2)2＝192 ，
(abc)2＝(√2√3×2)2＝24 ・・・(5.1.7)
よって (5.1.1)は
4K＝12×(8＋5―2)＋24×(5＋2―8)＋20×(2＋8―5)―2×80
＝12×11＋24×(―1)＋20×5―2×80＝4×(33―6＋25―40)＝4×12＝48
よって K＝12 ・・・(5.1.8)
また(5.1.2)は
4L＝12×(3＋5―6)＋24×(5＋6―3)＋20×(6＋3―5)―2×90
＝4×(6＋6×8＋5×4―3×15)＝4×29＝116
よって L＝29 ・・・(5.1.9)
(5.1.3)は
4M＝12×(8＋4―6)＋24×(4＋6―8)＋20×(6＋8―4)―2×192
＝4×(18＋12＋50―96)＝4×(―16)＝―64
よって M＝―16 ・・・(5.1.10)
(5.1.4)は
4N＝12×(3＋4―2)＋24×(4＋2―3)＋20×(2＋3―4)―2×24
＝4×(15＋18＋5―12)＝4×26＝104
よって N＝26 ・・・(5.1.11)
これらを加えると
K＋L＋M＋N＝12＋29＋(―16)＋26＝51 ・・・(5.1.12)
よって (5.1.6)から 2detJ(3)＝51 ⇒4detJ(3)＝102 ・・・(5.1.13)となるはずである。
そこで 4detJ(3)を計算しよう。 4detJ(3)を6辺で計算する式は、次の(6)
の(6.1.1) のように与えられる。
(6) (1.1.2)と(5.1.7)から
4detJ(3)＝(6V)^2＝a2d2(b2＋e2＋c2＋f2―a2―d2)
＋b2e2(c2＋f2＋a2＋d2―b2―e2)
＋c2f2(a2―d2＋b2＋e2―c2―f2)
ー{(aef)2＋(dbf)2＋(dec)2＋(abc)2} ・・・(6.1.1)
＝12×(11＋9―8)＋24×(9＋8―11)＋20×(8＋11―9)
―(80＋90＋192＋24)
＝4×(36＋36＋50)―386＝488―386＝102 ・・・(6.1.2)
となって(5.1.13)と一致する。計算に間違いはないようである。
detJ(3)>0 だから (→AB)，(→AC)，(→AD)は一次独立となり、
「四面体ABCD」ができた。
(7) それでは、この四面体ABCDの「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」を書き下そう。
(5.1.8)〜(5.1.11)及び(5.1.13)より、
mを3以上の自然数、四面体ABCD⊂E^3⊂E^mとし、任意の点P∈E^mをとったとき、
(→PＯ)＝1/{2detJ(3)}[K(→PA)＋L(→PB)＋M(→PC)＋N(→PD)]
＝(1/51)[12(→PA)＋29(→PB)―16(→PC)＋26(→PD)] ・・・(7.1.1)
すなわち
(→PＯ)＝(1/51)[12(→PA)＋29(→PB)―16(→PC)＋26(→PD)] ・・・(7.1.2) である。
ここで(→PC)の係数だけ「―」ということから、この「四面体ABCD」の
「外心Ｏ」は、四面体ABCDの外部にあり、△ABDを含む平面に対して頂点Aと反対側の領域にある。
(8)
この「四面体ABCD」の２次元の外接球面の半径 R(３)を求めてみよう。
公式を使うと簡単に求まる。公式は次のようであった。
R(３)2＝{1/16detJ(3)}(ad＋be＋cf)(ad＋be―cf)(be＋cｆ―ad)(cf＋ad―be)
・・・(8.1.1)
よって
R(３)^2＝{1/(8×51)}(√2×√6＋√3×2√2＋2√5)(√2×√6＋√3×2√2―2√5)
×(√3×2√2＋2√5―√2×√6)(2√5＋√2×√6―√3×2√2)
＝{1/(8×51)}{(2√3＋2√6)2―(2√5)2}{{(2√5)2―(2√6―2√3)2}
＝{1/(8×51)}×(√3＋√6)2―(√5)2}{{(√5)2―(√6―√3)2}
＝{1/(8×51)}(4×4){3＋6√2＋6―5}{5―6＋6√2―3}
＝{1/(8×51)}×(4×4×4)(3√2＋2)(3√2―2)＝{1/(51)}×8×(3√2＋2)(3√2―2)
＝(1/51)}×(8×14)}＝(16×7)/51 ・・・(8.1.2)
すなわち R(３)2＝(16×7)/51
よって R(３)＝(4√7)/(√51) ・・・(8.1.3)
(9) 以上、二つ目の「垂心四面体ではなくて、かつ6辺の長さがみな異なり、3つの面が鋭角三角形、
△BCDだけが∠BADが鈍角の鈍角三角形の「四面体ABCDの例」を造ってみた。そして
その「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」と「外接球面」の半径R(3)を求めた。
4detJ(3)の計算については、「外心Ｏ」についての 4K，4L，4M，4Nの計算に
間違いがなければ、8detJ(３)=4K＋4L＋4M＋4N から
4detJ(３)＝(1/2)(4K＋4L＋4M＋4N) として求まる。よって、
「 U＝4K＋4L＋4M＋4N ・・・(9.1.1)」とおけば、detJ(3)＝(6V)2だから、
「四面体ABCDの体積Vは V＝(1/6)√(U/8) ・・・(9.1.2) 」
として求まるわけである。
それで、「外心Ｏ」を求めるときなどは 4detJ(３)の公式は検算用として使用すればよくなる。
ただ、今の段階では、「外心Ｏ」の 4K ，4Ｌ ，4M ，4N の公式が
覚えるのが難しいが、実はこれらを簡単に表す方法は前に述べたように、完成している。
それの「発表が終わり次第」、発表しようと思っている。
