三角形の垂心の重心座標表現

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　以下「ベクトル　ＡＢ」などを　 $\overrightarrow{AB}$ で表すことにする。

まず、結果だけ述べておこう。

三角形ＡＢＣを含むm次元ユークリッド空間を $E^m$ ただし　m≧２としておく。

このとき $E^m$ の任意の点Ｐにたいして、

(あ) 三角関数表示では　

　 $\overrightarrow{PH} = \cot{B}\cot{C} \overrightarrow {PA} + \cot {C}\cot {A} \overrightarrow{PB} + \cot{A} \cot{B}\overrightarrow{PC}$ ・・・(1)

　となる。ここで,2008.8.26　の「ブログ」で示したように、

　 $\cot {B} \cot {C} + \cot {C} \cot {A} + \cot{A} \cot{B} = 1 \cdots \left(2\right)$

なので　(1)は

「垂心Ｈのベクトルによる重心座標表現」である。これは直角三角形でも成立する。

例えば $\angle A=90^\circ$ の直角三角形では「垂心Ｈ」は明らかに頂点Ａであるが、

　 $\cot {90^\circ }=0$ 　なので $\cot{A}=0$
すると上の公式(1)から

　 $\overrightarrow {PH} =\cot{B} \cot {C} \overrightarrow {PA}$ 　・・・(*)　

　ところが　 $A=90^\circ$ ならば $B+C=90^\circ$ なので、

　 $\cot {B} \cot {C}=\cot {B} \cot {\left( 90^\circ-B \right)}=\cot {B} \tan {B}=1$ となる。

よって

　 $\overrightarrow {PH} = \overrightarrow {PA}$ ・・・(#)となり、これから
「垂心Ｈ]=「頂点Ａ」と正しく求まる。

(い) 「内積」を用いた表示では、

　　・・・(3)

ここに、 である。

　ただし、 $\left( \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC} \right)$ は $\overrightarrow {AB}$ と $\overrightarrow {AC}$ の「内積」を表すものとする。

　 $yz+xz+xy=4S^ {2}$ 　・・・(4)

が成立する(下に証明がしてある）ので、(3)は「ベクトルによる重心座標表現」である。

また、 $S$ は三角形ＡＢＣの面積である。

(う)3辺 $a,b,c$ を用いた表示では、

$=\frac {1}{16S^2} \left( c^2+a^2-b^2 \right) \left( a^2+b^2-c^2 \right)\overrightarrow {PA}$
$+ \frac {1}{16S^2}\left( a^2+b^2-c^2 \right) \left( b^2+c^2-a^2 \right) \overrightarrow {PB}$
$+\frac {1}{16S^2}\left( b^2+c^2-a^2 \right)\left( c^2+a^2-b^2 \right) \overrightarrow {PC} \right]$ ・・・(5)

ここで　ヘロンの公式から、
$16S^2=\left(a+b+c\right) \left(b+c-a\right) \left(c+a-b \right)\left(a+b-c\right)$ ・・・(6)である。

<注意>：(う)は(い）から導けるのである。

　まず、定義から内積の変形を用いて　 $x+y=c^2,x+z=b^2,y+z=a^2$ ・・・(7)が成立する。

例えば　 $x+y=c^2$ は次のように証明される。

$x=\left(\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}\right)=\left( -\overrightarrow {BA},\overrightarrow {BC}-\overrightarrow {BA}\right)$
$=−\left( -\overrightarrow {BA},\overrightarrow {BC} \right) +| \overrightarrow {BA}|^2=-y+c^2$
　となるから $x+y=c^2$ である。