「四平方定理」を「一般の垂心四面体」へ拡張した「七平方定理」 2008.11.3(月)
☆ この「定理」は2008.10.30(木)に得たばかりである。
「垂心四面体ABCD」の6辺の長さを例によって、
BC＝a ，CA＝b ，AB＝c ，AD＝d ，BD＝e ，CD＝f ・・・(1.1.1)とし、
x＝((→AB)，(→AC))＝((→AB)，(→AD))＝((→AC)，(→AD))，
y＝((→BA)，(→BC))＝((→BA)，(→BD))＝((→BC)，(→BD))，
z＝((→CA)，(→CB))＝((→CA)，(→CD))＝((→CB)，(→CD)),
w＝((→DA)，(→DB))＝((→DA)，(→DC))＝((→DB)，(→DC)) ・・・(1.1.2)とおくと、
x＝(b2＋c2―a2)/2＝(c2＋d2―e2)/2＝(d2＋b２―f２)/2
y＝(c2＋a2―b2)/2＝(e2＋c2―d2)/2＝(a2＋e2―f2)/2
z＝(a2＋b2―c2)/2＝(b2＋f2―d2)/2＝(f2＋a2―e2)/2
w＝(d2＋e2―c2)/2＝(f2＋d2―b2)/2＝(e2＋f2―a2)/2 ・・・(1.1.3)
kを a2＋d2=b2＋e2=c2＋f2＝k2 ・・・(1.1.4)を満たす正の数とする。
また、△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABCの面積をそれぞれ、SA ，SB ，SC ，SD
とする。
このとき、次の関係式(1.1.5)があった。
y＋z＝a2 ，x＋z＝b2 ，x＋y＝c2 ，
x＋w＝d2 ，y＋w＝e2 ，z＋w＝f2 ・・・(1.1.5)
実は、
「四面体ABCD」が「垂心四面体」であること、つまり(1.1.2) ⇔ (1.1.5) である。
このことは、また別の機会に示すつもりである。
さて、次の「定理2.1」が成り立ち、これは、「3直角四面体」で成立する「四平方定理」の
自然な拡張である。平方が7つあるので「七平方定理」と呼ぶことにする。
すなわち、
「定理2.1」・・・垂心四面体の「七平方定理」・・・・次の(2.1.5）を指す。
「垂心四面体ABCD」の6辺の長さを、
BC＝a ，CA＝b ，AB＝c ，AD＝d 、BD＝e ，CD＝f ・・・(2.1.1)とし、
x＝((→AB)，(→AC))＝((→AB)，(→AD))＝((→AC)，(→AD))，
y＝((→BA)，(→BC))＝((→BA)，(→BD))＝((→BC)，(→BD))，
z＝((→CA)，(→CB))＝((→CA)，(→CD))＝((→CB)，(→CD)),
w＝((→DA)，(→DB))＝((→DA)，(→DC))＝((→DB)，(→DC)) ・・・(2.1.2)とおき、
kを a2＋d2=b2＋e2=c2＋f2＝k2 ・・・(2.1.3)を満たす正の数とする。
また、△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABCの面積をそれぞれ SA ，SB ，SC ，SD
とする。
このとき、aとd ，bとe ，cとfが3組の対辺であるが、
(1) 4(SA2＋SB2SC2＋SD2)＝(ad)2＋(be)2＋(cf)2 ・・・(2.1.4)
が成立する。
すなわち (2SA)2＋(2SB)2＋(2SC)2＋(2SD)2＝(ad)2＋(be)2＋(cf)2・・・(2.1.5）
(2) 「A―3直角四面体」では、上の(2.1.3)から
よく知られた、SA2＝
SB2＋SC2＋SD2 ・・・(2.1.6) の式が
自然に導かれる。
「証明」
(1) 2008.11.03(月)に、このBlogの前の「垂心四面体ABCDの垂心のベクトルによる
重心座標表現で見落としていた大事なこと」により、
SA ，SB ，SC ，SDは それぞれ △BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABCの面積だから、
4SA2＝zw＋yw＋yz ・・・(2.2.1)， 4SB2＝zw＋xw＋xz ・・・(2.2.2)
4SC2＝yw＋xw＋xy ・・・(2.2.3)， 4SD2＝yz＋xz＋xy ・・・(2.2.4)
これらを加えれば、(1.1.5)を用いて
4(SA2＋SB2＋SC2＋SD2)
＝(zw＋yw＋yz)＋(zw＋xw＋xz)＋(yw＋xw＋xy)＋(yz＋xz＋xy)
＝2(xy＋xz＋xw＋yz＋yw＋zw）
＝2{x(z＋w)＋y(x＋w)＋z(y＋w)}
＝2（xf2＋yd2＋ze2）
＝(2x)f2＋(2y)d2＋(2z)e2 ・・・(2.2.5)
ここで (1.1.3)から
2x＝b2＋c2―a2，2y＝c2＋a2―b2 ，2z＝a2＋b2―c2 を代入して
4(SA2＋SB2＋SC2＋SD2)
＝(b2＋c2―a2)f2＋(c2＋a2―b2)d2＋(a2＋b2―c)e2
ところで、(2.1.3)の a2＋d2=b2＋e2=c2＋f2＝k2により、d2，e2，f2を
k2と、a2，b2，c2で表せば、
4(SA2＋(SB2＋(SC2＋SD2)
＝(b2＋c2―a2)(k2―c2)＋(c2＋a2―b2)(k2―a2)＋(a2＋b2―c2)(k2―b2)
＝{(b2＋c2―a2)＋(c2＋a2―b2)＋(a2＋b2―c2)}k2
―[c2（b2＋c2―a2)＋a2(c2＋a2―b2)＋b2(a2＋b2―c2)]
＝（a2＋b2＋c2）k2
―[(bc)2＋c4―(ac)2＋(ac)2＋a４―(ab)２＋(ab)2＋b4―(bc)2]
＝(a2＋b＋c2)k2―(a4＋b4＋c4)
＝a2(k2ーa2}＋b2(k2―b2)＋c2(k2―a2）
＝a2d2＋b2e2＋c2f2
＝(ad)2＋(be)2＋(cf)2
ここで、(2.1.3)の a2＋d2=b2＋e2=c2＋f2＝k2 により
k
2―a2＝d2 ，k2―b2＝e2 ，k2―c2＝f2を用いた。
こうして (2.1.4)の
4(SA2＋SB2＋SC2＋SD2)＝(ad)2＋(be)2＋(cf)2
が導かれた。
次に
(2)を示そう。
「A―3直角四面体ABCD」は、∠BAC＝∠BAD＝∠CAD＝90度の四面体で、これは「垂心H」が
「頂点A」になる特殊な「垂心四面体」であった。
よって 上の(1.1.2)の x＝0 であって、
x＝((→AB)，(→AC))＝((→AB)，(→AD))＝((→AC)，(→AD))＝0
これは(1.1.3)から、
b2＋c２―a２＝c２＋d２―e２＝d２＋b２―f２＝0 ，
a２＝b２＋c２ ，e２＝c２＋d２ ，f２＝b２＋d２ ・・・(2.3.1)
ゆえに a２，e２，f２は b２ ， c２, d２ で表される。
よって
△ABCは∠BAC＝90度の直角三角形、△ABDは∠BAD＝90度の直角三角形，
△ACDは∠CAD＝90度の直角三角形であり、
SD＝(bc)/2 ，SC＝(cd)/2 ，SB＝(bd)/2 ゆえに
bc＝2SD ，cd＝2SC ，bd＝2SB ・・・(2.3.2) である。
さて、
(1)で証明した公式(2.1.4)の右辺に(2.3.1)を代入すれば、
(2.1.4)の右辺＝a2d2＋b2e2＋c2f2
＝(b2＋c2)d2＋b2(c2＋d2)＋c2(b2＋d2)
＝2{(bd)2＋(cd)2＋(bc)2} ・・・(2.3.3)
これに (2.3.2)を代入すれば、
(2.1.4)の右辺＝8(SB2＋SC2＋SD2)となる。
よって (2.1.4)式は
4(SA2＋SB2＋SC2＋SD2）＝8(SB2＋SC2＋SD2)
となる。
ゆえに 4SA2＝4（SB2＋SC2＋SD2）
すなわち SA2＝SB2＋SC2＋SD2
となり、(2.1.6)式が自然に導かれた。
（証明 終わり）
