垂心四面体で成り立つベクトル等式 - 春がきて、朝がきた。楽しい一日が始まる

１

垂心四面体ABCDとは、４つの頂点A,B,C,Dから対面に下した4本の垂線が1点で交わる四面体をさす。

この交点を「四面体ABCD」の「垂心」と呼ぶ。

［命題1.1］

 

 

垂心四面体ABCDにおいて、

△BCD、△ACD、△ABD、△ABCの面積を順にS_A　，S_B　，S_C　，S_Dとし、

頂点A,B,C,Dから下した垂線の足をそれぞれH_A，H_B　，H_C　，H_Dとすれば、

 

等式　

　　　S_A²(→AH_A)＋S_B²(→BH_B)＋S_C²(→CH_C)＋S_D²(→DH_D)＝(→0)　・・・(1・1・1)

　　　が成立する。　

２

　三角形ABCでは、対応する等式は、次のようになる。

[命題2・１]

 

3辺BC，CA，ABの長さをそれぞれ　a，b，c　とし、頂点A，B，Cから対辺BC，CA，ABに

　下した垂線の足を、順にH_AH_B，H_Cとすれば、

　等式

　　　　　a²(→AH_A)＋b²(→BH_B)＋c²(→CH_C)＝(→0)　　・・・(2・1・１)　

　　　　　

　が成立する。