△ABCのベクトルによる重心座標表現の公式 2009.02.01(日)
△ABCに対して、その傍接円は３つできる。その「傍接円」の中心を「傍心」という。
したがって 「傍心」は３つある。△ABCの3辺を BC=a,CA=b, AB＝c とおく。
E^mでm次元ユークリッド空間を表すものとし、(→PB)で「ベクトルPB」を表すものとする。
1.
「傍接円の定義」
平面上に辺BCを底辺にとり、頂点Aが上方にくるように△ABCを書いておく。辺ABの頂点Bの方への延長線上に点D、
辺ACの頂点Cの方への延長線上に点Eをとる。すると
∠B=∠ABCと∠C=∠ACBの「外角」はそれぞれ∠CBDと∠BCEになる。さて辺BCよりも下方で直線ABDよりも右かつ
直線ACEよりも左の△ABCの外部の「領域」を考える。この「領域内」において、辺BC及び直線ABDに接し、
かつ直線ACEに接する一つの円が△ABCの外部にできる。これを△ABCの『辺BCに「傍接」する「傍接円」』と
よぶことにする。この様な傍接円は辺BCに対してはただ１つ存在する。
その中心をE_Aで表し,「傍心E_A」という。またその円を「傍接円E_A」とよぶことにする。同様にして
『辺CAに「傍接」する「傍接円E_B」』，『辺ABに「傍接」する「傍接円E_C」』ができる。
この様に三角形に対しては「傍接円」は３つできる。
2.
※※※※※ 「傍接円E_A」の中心「傍心E_A」の求め方：※※※※※※※※※※※※※※※※
「傍接円E_A」は辺BCと直線ABDに接するのであるから、その中心E_Aは∠B=∠ABCの外角∠CBDの
二等分線m上にあり、∠C=∠ACBの外角∠BCEの二等分線n上にもある。この交点が「傍心E_A」になる。
さらに辺BCの下方へ、∠A=∠BACの二等分線lを引いてみるとlはこの点E_Aを通るのである。
つまり、２つの外角と1つの内角の3本の二等分線l，m,nは1点で交わり、
その交点が「傍心E_A」である。 (これが普通のE_Aの求めかたである。)
3.
[命題1.1]
△ABCに対して3辺の長さを BC=a,CA=b, AB＝c とおく。
そのとき、「傍心E_A」の「ベクトルによる重心座標表現」は次のようになる。
△ABC⊆E^2⊆E^mとし、任意の点P∈E^m (m≧2)にたいして、
(→PE_A)={−a(→PA)＋b(→PB)＋c(→PC)}/(−a+b＋c) ・・・(1.1.1)
(−a+b＋c)/(−a+b＋c)＝1だから、
これは確かに△ABCに関する「ベクトルによる重心座標表現」である。
なお、b＋c> a に注意されたい。
4.
この[命題1.1]を証明するために準備をする。
[補題1.2]
△ABCにたいして BC=a ，AC=b とおく また ∠BAC＝A，∠ABC＝B と書くことにする。
このとき、よく知られているように
a< b ⇔ A<B
a= b ⇔ A=B
a> b ⇔ A>B ・・・（1.2)
[補題1.3]
△ABCにおいて a< b (つまり BC< AC)とする。点D,Eは上記1.のようにとる。二等分線nも同じく
外角∠BCEの二等分線とする。
このとき外角∠BCEの二等分線nと直線ABとは交わる。
「証明」
外角∠BCEの二等分線n上 かつ、辺BCの下方に点Fをとる。
∠CBD＋∠BCF <180度 ・・・(1.3.1) を示せば,
直線ABと直線nとは1点で交わる。
そこで (1.3.1)を示そう。
まず
∠CBD＝180度−B ・・・(1.3.2) ,∠BCE＝A＋B よって∠BCF＝(∠BCE)/2＝(A＋B)/2 ・・・(1.3.3)
また a< bだから[補題1.2]を使うと A< B <180度 よって 0< B− A<180度
⇒0度<(B−A)/2<90度 ・・・(1.3.4)
そこで (1.3.2),(1.3.3)より
∠CBD＋∠BCF=(180度−B)＋(A＋B)/2=180度−(B−A)/2
(1.3.4)から 0度<180度−(B−A)/2<180度 よって ∠CBD＋∠BCF=180度−(B−A)/2 <180度 となり
∠CBD＋∠BCF<180度 となって (1.3.1)が示された。
（[補題1.3]の「証明」終わり）
[補題1.4]
△ABCにおいて a=b のとき、∠BCEの二等分線nは直線ABと平行である。
「証明」
a=b ⇔ A＝B から
∠BCE=A＋B＝2A よって ∠BDF=(∠BCE)/2＝A (点Fは[補題1.3]と同じようにとる）
一方 ∠ABC=B=A
ゆえに 二直線AB，nに関して錯角の∠ABCと∠BCFとが等しいので平行である。
（[補題1.4]の「証明」終わり）
5.
次に ※※※※※※重要な[命題1.5]を述べる。※※※※※※※※※※
[命題1.5]
△ABCにおいて a< b (つまり BC< AC)とする。点D,Eは上記1.のようにとる。二等分線nも同じく
外角∠BCEの二等分線とする。[補題1.3]より外角∠BCEの二等分線nと直線ABとは交わる。
この交点をF_Aとおく。F_Aは辺ABのBの方の延長線上にある。
⇒ F_Aは辺ABをb:aの比に【外分】する点になる。
A(F_A)：B(F_A)＝b：a
すなわち 点 F_Aは辺ABをb:(−a)の比に【分ける点】である。・・・(1.5.1)
【証明」
頂点Bから直線C(F_A) つまり nに平行線を引き、その交点をJとする。
BJ 平行 直線ACとなるから∠BJC＝∠JCE（錯角が等しい）・・・(1.5.2)
ゆえに∠BCJ＝∠JCE (何故ならCJすなわちnは∠BCEの二等分線だから）・・・(1.5.3)
よって(1.5.2),(1.5.3)から△BCJにおいて∠BJC＝∠BCJ（△BCJは二等辺三角形）⇒ BJ=BC=a ・・・(1.5.4)
そこでBFとACが平行より △(F_A)BJ∽△(F_A)AC よって(1.5.4)から
A(F_A)：B(F_A)＝AC：BJ＝AC：BC＝ｂ:a となる。
（[命題1.5]の「証明」終わり）
6.
※※※※※※※それでは[命題1.1]の「証明」に入る※※※※※※※※※
[命題1.6]
△ABCにおいて 辺BC=a ,CA=b とし、（ア）b< c または （イ）b=c とする。
『辺BCに「傍接」する「傍接円」』の「傍心」を「E_A」とする。
このとき、（ア）（イ)どちらでも、
(→AE_A)＝[b(→AB)＋c(→AC)]/(−a＋b＋C) ・・・(1.6.1)
「証明」
（ア) a<b の場合、[補題1.3]から外角∠BCEの二等分線nと直線ABとの交点がある。それをF_Aとする。
[命題1.5]から 点F_Aは辺ABをb:(−a)の比に【分ける点】である。
よって 頂点Cを始点としたベクトルを考えて
(→CF_A)＝[(−a)(→CA)＋b(→CB)]/{b＋(−a)} ・・・(1.6.2)
「傍心E_A」は直線C(F_A)上にあるから (→CE_A)＝λ(→CF_A) ・・・(1.6.3)となる実数λがある。
(1.6.2),(1.6.3)から
(→AE_A)−(→AC)＝λ[(−a)(→CA)＋b{(→AB)−(→AC)}]/{b＋(−a)}
＝(bλ)/(b−a)(→AB)＋{(a−b)λ/(b−a)}(→AC)
＝(bλ)/(b−a)(→AB)−λ(→AC)
ゆえに (→AE_A)＝(bλ)/(b−a)(→AB)＋(1−λ)(→AC) ・・・(1.6.4)
一方 A(E_A)は∠BACの二等分線lであるから
直線A(E_A)と辺BCとの交点をKとすれば、BK：KC＝c:bより
(→AE_A)＝μ[b(→AB)＋c(→AC)]/(b＋c) ・・・(1.6.5) となる実数μがある。
(→AB)，(→AC)は一次独立だから(1.6.4),(1.6.5)より
(bμ)/(b＋c)=(bλ)/(b−a) ・・・(1.6.6) かつ
(cμ)/(b＋c)=1−λ ・・・(1.6.7) このλ，μの連立方程式を解く。
(1.6.6) ⇔ λ＝μ(b−a)/(b＋c) ・・・(1.6.8) これを(1.6.7)に代入して
(cμ)/(b＋c)＝{(b＋c−(b−a)μ}/(b＋c)
⇔ cμ＝b＋c−(b−a)μ ⇔ (b＋c−a)μ＝b＋c ⇒ μ＝(b＋c)/(b＋c−a) ・・・(1.6.9)
(1.6.9)を(1.6.5)に代入して
(→AE_A)＝[b(→AB)＋c(→AC)]/(−a＋b＋c) となる。
（イ) a＝bのときC(E_A)平行AB
(→CE_A)＝λ(→AB) ・・・(1.6.10)
また (→AE_A)＝μ[b(→AB)＋c(→AC)]/(b＋c) ・・・(1.6.5)となる実数λ,μがある。
(1.6.10)⇔ (→AE_A)＝λ(→AB)＋1(→AC) ・・・(1.6.11)
(→AB)，(→AC)は一次独立だから(1.6.5),(1.6.11)より
(bμ)/(b＋c)=λ ・・・(1.6.12) かつ (cμ)/(b＋c)=1 ・・・(1.6.13)
(1.6.13) ⇔ μ＝(b＋c)/c ・・・(1.6.14)
a＝b ⇒ b＋c−a=c よって (1.6.14) ⇔ μ＝(b＋c)/(b＋c−a) ・・・(1.6.15)
(1.6.15)を(1.6.5)に代入して
(→AE_A)＝[b(→AB)＋c(→AC)]/(−a＋b＋c) となる。
（[命題1.6]の「証明」終わり）
◎同様にして
[命題1.7]
△ABCにおいて 辺BC=a ,CA=b とし、（ウ）b > c とする。
『辺BCに「傍接」する「傍接円」』の「傍心」を「E_A」とする。
このとき、
(→AE_A)＝[b(→AB)＋c(→AC)]/(−a＋b＋c) ・・・(1.7.1)
※※※※※※※以上の[命題1.6] [命題1.7]より目標の[命題1.1]]が証明される※※※※※※※※※
[命題1.1]]の「証明」
△ABCにおいて 辺BC=a ,CA=b としたとき、
その【傍心E_A】について
(→AE_A)＝[b(→AB)＋c(→AC)]/(−a＋b＋c) ・・・(1.1.2)
よって
(→PE_A)−(→PA)＝[b(→PB)−b(→PA)＋c(→PC)−c(→PA)]/(−a＋b＋c)
⇔ (→PE_A)＝{(−a＋b＋c)−(b＋c)}(→PA)/(−a＋b＋c)＋{b(→PB)＋c(→PC)}/(−a＋b＋c)
＝{−a(→PA)＋b(→PB)＋c(→PC)}/(−a＋b＋c)
となって証明された。
（[命題1.1]]の「証明」終わり）
最終更新：2009年02月01日 15:13
