三角形の傍心・内心についての等式-追加版 - 春がきて、朝がきた。楽しい一日が始まる

三角形の傍心・内心についての等式_追加版　2009.02.16(月)

前回のBlogでは△ABCに対して、傍心・内心の「ベクトルによる重心座標表現」と
その半径を与え、種々の等式を証明した。「前回で書き残した等式」がまだ少しあるので
それを紹介し、証明しておく。

0.　
[命題0.1]
△ABCにおいてBC＝ａ，CA＝ｂ，AB＝ｃ　，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ　とおく。
角　A/2　の正接・余弦・正弦の2乗をs,ａ，ｂ，ｃ　つまり　3辺ａ,ｂ，ｃで次のように
表すことができる。

(1)　　tan^2(A/2)＝(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)/[ｓ(ｓ−ａ)]　　・・・(0.1.1)
(2)　　cos^2(A/2)＝ｓ(s−ａ）/(bc)　　　　　　　 ・・・(0.1.2)
(3)　　sin^2(A/2)＝(ｓ−ｂ)(s−ｃ）/(bc)　　　　　 ・・・(0.1.3)
「証明」
(1)について：前回のBLogの[補題2.2]から
tan(A/2)＝r/(ｓ−ａ)　であった。r＝S/s　とHeron(ヘロン)の公式
S^2＝ｓ(ｓ−ａ)(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)により

tan^2(A/2)＝(S/s)^2/(ｓ−ａ)^2＝[ｓ(ｓ−ａ)(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)]/[s(ｓ−ａ)]^2
　　　　　　＝[(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)]/[s(ｓ−ａ)]
(2)について：
tan^2(A/2)が求まったので、お決まりの　cos^2(A/2)＝1/[1＋tan^2(A/2)]を使って求める。
1＋tan^2(A/2)＝1＋(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)/[ｓ(ｓ−ａ)]＝[ｓ(ｓ−ａ)＋(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)]/[ｓ(ｓ−ａ)]

ところが　ｓ(ｓ−ａ)＋(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)
　　　　　＝2ｓ^2−(ａ＋ｂ＋ｃ)ｓ＋ｂｃ
　　　　　＝2ｓ^2−２ｓ×ｓ＋ｂｃ＝ｂｃ(∵　2ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ）
よって　1＋tan^2(A/2)＝bc/[ｓ(ｓ−ａ)]

　ゆえに　cos^2(A/2)＝1/[1＋tan^2(A/2)]＝[ｓ(ｓ−ａ)]/ｂｃ
(3)について：
sin^2(A/2)＝tan^2(A/2)×cos^2(A/2)＝[(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)/s(ｓ−ａ)]×[ｓ(ｓ−ａ)]/ｂｃ
　　　　　　＝[(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)]/ｂｃ
（[命題0.1]の「証明」終わり）
[命題0.2]
△ABCにおいてその面積をS，BC＝ａ，CA＝ｂ，AB＝ｃ，△ABCの頂点Aから辺BCに降ろした垂線の足をH_A、
頂点Bから対辺のCAに降ろした垂線の足をH_B，頂点Cから対辺のABに降ろした垂線の足をH_Cとし,

h_A＝A(H_A)　，h_B＝B(H_B)，h_C＝C(H_C)　とおけば

　　1/(h_A)＋1/(h_B)＋1/(h_C)＝1/r　・・・(0.2.1)

「証明」
証明は極めて簡単である。S＝(1/2)a(h_A)＝(1/2)ｂ(h_B)＝(1/2)ｃ(h_C)　から
1/(h_A)＝ａ/(2S)　，1/(h_B)＝ｂ/(2S)　，1/(h_C)＝ｃ/(2S)
　また　r＝S/s＝(2S)/(2s)＝(2S)/(ａ＋ｂ＋ｃ）⇒　1/r＝(ａ＋ｂ＋ｃ）/(2S)
　ゆえに 1/(h_A)+1/(h_B)＋1/(h_C)＝ａ/(2S)＋ｂ/(2S)＋ｃ/(2S)
　　　　 ＝(ａ＋ｂ＋ｃ）/(2S)＝1/r
すなわち　1/(h_A)＋1/(h_B)＋1/(h_C)＝1/r
（[命題0.2]の「証明」終わり）
[命題0.3]
∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとし、AD＝f_Aで表すことにし、
同様に∠Bの二等分線と辺CAとの交点をEとし、BE＝f_B、∠Cの二等分線と辺CAとの交点をFとし、
CF＝f_Cとすれば、
(1)　(f_A)^2＝[ｂｃ(ａ＋ｂ＋ｃ)(ｂ＋ｃーａ)/(ｂ＋ｃ)^2
　　　　　　 ＝[4ｂｃｓ(s−ａ）]/(ｂ＋ｃ)^2　　　　　　　　・・・(0.3.1)
　　⇔　 f_A＝√[ｂｃ(ａ＋ｂ＋ｃ)(ｂ＋ｃーａ)]/(ｂ＋ｃ)＝2√[ｂｃｓ(ｓーａ)]/(ｂ＋ｃ)

(2)　(f_B)^2＝[ｃａ(ａ＋ｂ＋ｃ)(ｃ＋ａーｂ)/(ｃ＋ａ)^2　　
　　　　　 　＝[4ｃａｓ(ｓ−ｂ）]/(ｃ＋ａ)^2　　　　　　　・・・(0.3.2)
　　⇔　f_B＝√[ｃａ(ａ＋ｂ＋ｃ)(ｃ＋ａーｂ)]/(ｃ＋ａ)＝2√[ｃａｓ(ｓーｂ)]/(ｃ＋ａ)

(3)　(f_C)^2＝[ａｂ(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ＋ｂーｃ)/(ａ＋ｂ)^2
　　　　　　　＝[4ｃａｓ(ｓ−ｂ)]/(ａ＋ｂ)^2　　　　　　 ・・・(0.3.3)
　　⇔　f_C＝√[ａｂ(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ＋ｂーｃ)]/(ａ＋ｂ)＝2√[ａｂｓ(ｓーｃ)]/(ａ＋ｂ)
(4)
　(f_A)(f_B)(f_C)＝8(abcs)S/(ｂ＋ｃ)(ｃ＋ａ)(a＋b)
　　　　　　　　　　＝8(abcrｓ^2)/(ｂ＋ｃ)(ｃ＋ａ)(a＋b)　・・・(0.3.3)
「証明」
(1)を証明すれば(2)(3)も同様であるので、(1)と(4)を証明しよう。
(1)について：ベクトルを使おう。
　f_A=AD。点Dは∠Aの二等分線と辺BCとの交点だから
AB：AC＝ｂ：ｃ　よって(ｂ＋ｃ)(→AD)＝ｂ(→AB)＋ｃ(→AC)
よって　(ｂ＋ｃ)^2(f_A)^2=(ｂ＋ｃ)^2|(→AD)|^2＝|ｂ(→AB)＋ｃ(→AC)|^2　　　ここで　
|ｂ(→AB)＋ｃ(→AC)|^2=ｂ^2｜(→AB)|^2＋ｃ^2｜(→AC)|^2＋2ｂｃ(*1)
　　＝(ｂｃ)^2＋(ｂｃ)^2＋2ｂｃ×(c^2＋b^2ーａ^2)/2
　　＝2(bc)^2＋ｂｃ(c^2＋b^2ーａ^2)
　　＝bc{2ｂｃ＋(c^2＋b^2)−a^2}＝ｂｃ[(ｂ＋ｃ)^2＾−a^2}
　　＝ｂｃ(a＋b＋c)(b＋cーa)＝4ｂｃｓ(ｓーａ)
ゆえに　(ｂ＋ｃ)^2(f_A)^2=ｂｃ(a＋b＋c)(b＋cーa)＝4ｂｃｓ(ｓーａ)
これより(0.3.1)が導かれる。
(4)
[(f_A)(f_B)(f_C)]^2
　　　＝[4ｂｃｓ(s−ａ）]/(ｂ＋ｃ)^2×[4ｃａｓ(ｓ−ｂ）]/(ｃ＋ａ)^2
　　　　　×[4ａｂ[ｓ(ｓ−ｃ）]/(ａ＋ｂ)^2　
　　　＝64(ａｂｃｓ)^2×［ｓ(ｓ−ａ)(ｓ−ｂ)(ｓ−ｃ)]/[(ｂ＋ｃ)(ｃ＋ａ)(ａ＋ｂ)]^2
　　　＝64(ａｂｃｓ)^2×(S^2)/[(ｂ＋ｃ)(ｃ＋ａ)(ａ＋ｂ)]^2
　ゆえに　(f_A)(f_B)(f_C)
　　　　　＝8(abcs)S/(ｂ＋ｃ)(ｃ＋ａ)(a＋b)
　　　　　＝8(abcrｓ^2)/(ｂ＋ｃ)(ｃ＋ａ)(a＋b)　（∵　S＝rs　）
（[命題0.3]の「証明終わり）

[命題0.4]　最後に△ABCにおいて辺BCの中点をMとして、中線の長さm_A＝AMをａ，ｂ，ｃ

        などで表しておこう。

　(m_A)^2＝[2ｂ^2＋2c^2−ａ^2]/4＝[ｂ^2＋c^2＋2bccosA]/4 ・・・(0.4.1)

「証明」パップス（またはパッポス）の中線定理
　AB^2＋AC^2＝2(AM^2＋BM^2）⇔c^2＋b^2＝2{(m_A)^2＋(a/2)^2}⇔　(m_A)^2＝[c^2＋b^2/2ー(a^2/4)]
⇔　(m_A)^2＝[(c^2＋b^2)/2ー(a^2/4)]＝[2ｂ^2＋2c^2−ａ^2]/4　ここで　b^2＋c^2−ａ^2＝2bccosA　
よって　　(m_A)^2＝[ｂ^2＋c^2＋(ｂ^2＋2c^2−ａ^2)]/4＝[ｂ^2＋c^2＋2bccosA]/4
（[命題0.4]の「証明」終わり）

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*1 →AB)，(→AC