三角形の「三線座標」と「四面体」の「四線座標」(その2)と「内心I」「傍心E_D」の重心座標 2009.02.16(月)
「四面体」にたいして「2次元内接球面」の中心「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」と
その半径rの公式や、「傍接球面」の中心、「傍心E_D」のベクトルによる重心座標表現」と
その半径r_Dなどを求めるために、新たに「四面体」に関する「四線座標」も導入し、
三角形の「三線座標」と比較しながら同時に考察する。
3.
「四線座標」の導入
(1) 記号の導入：
三角形について：△ABCの面積をSとし、3辺 BC＝ａ,CA＝ｂ，AB＝ｃとおく。また頂点A，B，Cから
対辺BC，CA，ABに降ろした「垂線」の足を順にH_A，H_B，H_Cとする。辺BC，CA，ABをそれぞれ
「△ABC」の底辺と見たときの△ABCの「高さ」を順にh_A，h_B，h_Cとするとh_A＝A(H_A)，
h_B＝B(H_B)，h_C＝C(H_C)となる。面積Sが，S＝(1/2)ａ(h_A)＝(1/2)ｂ(h_A)＝(1/2)ｃ(h_C)
と書けるので、
h_A＝(2S)/ａ ，h_B＝(2S)/ｂ，h_C＝(2S)/ｃ ・・・(3.1.1) である。
四面体について：「四面体ABCD」の「体積」をVとし，△BCD，△ACD，△ABD，△ABCの面積を
順に S_A，S_B，S_C，S_D・・・(3.1.2)と書く。
また頂点A，Ｂ，C，Dから対辺の△BCD，△ACD，△ABD，△ABCに
降ろした垂線の足を順にH_A，H_B，H_C，H_Dとおき、△BCD，△ACD，△ABD，△ABCを
それぞれ「四面体ABCD」の底面と見たときの高さを順に h_A，h_B，h_C，h_D ・・・(3.1.3)
とおく。さすれば h_A＝A(H_A)，h_B＝B(H_B)，h_C＝C(H_C)，h_D＝D(H_D)・・・(3.1.4)
また、体積V＝(1/3)(S_A)(h_A)＝(1/3)(S_B)(h_B)＝(1/3)(S_C)(h_C)＝(1/3)(S_D)(h_D)から
h_A＝(3V)/S_A ，h_B＝(3V)/S_B，h_C＝(3V)/S_C ，h_D＝(3V)/S_D ・・・(3.1.5)
場合によっては △BCD＝S_A ，△ACD＝S_B，△ABD＝S_C，△ABC＝S_D ・・・(3.1.6)と略記する。
以後これらをずっと使用する。
(2)
［定義3.1] 四面体ABCDに関する「四線座標」の定義
四面体ABCD⊆E^3(3次元空間）とし、点T∈E^3をとる。点Tから四面体ABCDの各面△BCD，△ACD，
△ABD，△ABCに降ろした垂線の足を順にT^A，T^B，T^C，T^D ・・・(3.1.7)とし、
α＝点Tから面△BCDまでの距離＝T(T^A)，β＝点Tから面△ACDまでの距離＝T(T^B)，
γ＝点Tから面△ABDまでの距離＝T(T^C)，δ＝点Tから面△ABCまでの距離＝T(T^D) ・・・(3.1.8)
とおき、その符号は、次のように決める。
例えば点Tが「面BCDの造る平面」に関して、頂点Aと反対側にあるときは、α＜0 と考える。・・・(3.1.9)
このようにして「四面体ABCD」を用いて、3次元空間E^3に「三線座標」を真似て「四線座標」が
導入できることが分かる。また、例えば面△ABC上の点Tに関しては、「四面体」での「四線座標」と
「△ABC」での「三線座標」の2通りが考えられる。このとき、「重心座標」のようには
「四線座標」が「三線座標」の「拡張」とはなってはいないので注意する必要がある。区別するときは、
「三線座標」は(α(３)，β(3)，γ(3)）などと書き、「四線座標」の方は(α(4)，β(4)，γ(4)，δ(４))
などで表すことにする。
点Tの「四線座標」の「一意性」は定かではないが、「四面体ABCD」に関する「重心座標」の
「一意性」とこれから述べる[命題3.2]以降によって、明らかになるだろう。
ー
△ABC」に関する「三線座標」及び「四面体ABCD」に関する「四線座標」と「重心座標」との関係
[命題3.2]
(1) 四面体ABCD⊆E^3(3次元空間）とし、点T∈E^3をとる。Tの「重心座標」を(κ，λ，μ，ν）
かつ κ＋λ＋μ＋ν＝１，「四線座標」を(α，β，γ，δ）とする。
「κ≠1 ⇒ α＝(3V/S_A)κ」，「λ≠1 ⇒ β＝(3V/S_B)λ」
「μ≠1 ⇒ γ＝(3V/S_C)μ」，「ν≠1 ⇒ δ＝(3V/S_D)ν」・・・(3.2.1) が成立する。
(2) 四面体ABCD⊆E^3(3次元空間）とし、点T∈E^3をとる。Tの「四線座標」を(α，β，γ，δ）とする。
Tの「重心座標」を(κ，λ，μ，ν）、κ＋λ＋μ＋ν＝１とする。
κ≠1 かつλ≠1 かつ μ≠1 かつν≠1 ・・・(3.2.2)のときは
(S_A)α＋(S_B)β＋(S_C)γ＋(S_D)δ＝3V ・・・(3.2.3) が成立する。
(3) △ABC⊆E^2（平面)とし、点T∈E^2をとる。Tの「重心座標」を(κ，λ，μ）かつ
κ＋λ＋μ＝１、「三線座標」を(α，β，γ)とする。
「κ≠1 ⇒ α＝(2S/ａ)κ」， 「λ≠1 ⇒ β＝(2S/ｂ)λ」
「μ≠1 ⇒ γ＝(2S/ｃ)μ」 ・・・(3.2.4) が成立する。
(4) △ABC⊆E^2（平面)とし、点T∈E^2をとる。Tの「重心座標」を(κ，λ，μ）かつ
κ＋λ＋μ＝１，「三線座標」を(α，β，γ）とする。
κ≠1 かつ λ≠1 かつ μ≠1 ・・・(3.2.5) のときは
ａα＋ｂβ＋ｃγ＝2S ・・・(3.2.6) が成立する
「証明」
(2)について：
まず(1)が成り立つとして(2)を証明する。
α＝(3V/S_A)κ，β＝(3V/S_B)λ，γ＝(3V/S_C)μ，δ＝(3V/S_A)ν より、
(S_A)α＝(3V)κ，(S_B)β＝（3V)λ，(S_C)γ＝(3V)μ，(S_D)δ＝(3V)ν ・・・(3.2.7)
ゆえに
(S_A)α＋(S_B)β＋(S_C)γ＋(S_D)δ＝(3V)(κ＋λ＋μ＋ν)＝(3V)×1＝3V
よって(3.2.3)が成り立つ。
(4)について：
まず(3)が成り立つとして(4)を証明する。
α＝(2S/ａ)κ，β＝(2S/ｂ)λ，γ＝(2S/ｃ)μ より
ａα＝(2S)κ，ｂβ＝(2S)λ，ｃγ＝(2S)μ ・・・(3.2.8)
ゆえにａα＋ｂβ＋ｃγ＝(2S)κ＋(2S)λ＋(2S)μ＝(2S)(κ＋λ＋μ)＝2S×1＝2S
よって(3.2.6)が成り立つ。
(1)について：
それでは(1)を証明しよう。
点Tの「四面体ABCD」に関する「重心座標」(κ，λ，μ，ν）、κ＋λ＋μ＋ν＝１について
「 κ≠1 ⇒ α＝(3V/S_A)κ」を証明する。
κ≠1であるから T≠A となり(∵[系2.3]）直線ATは「△BCDの造る平面」と1点T_Aで交わり、
[命題2.7]から (→T(T_A))＝κ(→A(T_A)) となる。H_Aは頂点Aから下した垂線の足だった。
（ア）０＜κ＜1 のとき、直線AT上に3点 A,T，T_Aがこの順に並び、また線分A(H_A)が頂点Aからの
「垂線」として存在する。点Tから「△BCDの造る平面」に「垂線」を引きその足をT^Aとおく。
T(T^A)＝α＞0 である。T_A≠H_Aとしよう。△A(T_A)(H_A)∽△T(T_A)(T^A)となるから
⇒ A(T_A)：T(T_A)＝ A(H_A)：T(T^A) ・・・(3.2.9)となる。
(→T(T_A))＝κ(→A(T_A))から A(T_A):T(T_A)＝１：κ， T(T^A)＝α，(3.1.5)から
A(H_A)＝h_A＝(3V)/S_A だから (3.2.9) は 1：κ＝h_A：α
⇒ α＝(h_A)κ＝(3V/S_A)κ ゆえに (3.2.1)の第１式が成立。
これで α＝(3V/S_A)κ が証明された。T_A＝H_A のときは(→T(T_A))＝κ(→A(T_A))は
(→T(H_A))＝κ(→A(H_A)) ・・・(3.2.10)となり α＝T(H_A) ，A(H_A)＝h_A だから
(3.2.10)から α＝κ(h_A)＝(3V/S_A)κ となり、(3.2.1)の第１式が成立。
（イ）κ＝0 のとき (→T(T_A))＝κ(→A(T_A))＝(→0)からT＝T_A∈「△BCDの造る平面」 ゆえにα＝0
よって α＝(3V/S_A)κは両辺とも「0」となり成立する。
（ウ）κ< 0のとき、四面体ABCDの面△BCDを底面、頂点Aを上方にもってきたとき、点Tは底面の△BCD
よりも下方にある。直線AT上には頂点A、交点T_A、点Tの順に上方から並んでいる。
α＝T(T^A)＜０である。T_A≠H_Aとしよう。△T(T^A)(T_A)∽△A(H_A)(T_A) である。
よって A(T_A)：T(T_A)＝A(H_A)：T(T^A) すなわち 1：(−κ）＝h_A：(−α)
⇒ α＝(h_A)κ＝(3V/S_A)κ つまり α＝(3V/S_A)κ
T_A＝H_A のときは (→T(T_A))＝κ(→A(T_A))は (→T(H_A))＝κ(→A(H_A)) ・・・(3.2.11)
となる。α＝T(H_A) A(H_A)＝h_A から （−α）＝(−κ)(h_A) これから
(ア)と同様に式がでる。
(エ) κ＞１のとき (→T(T_A))＝κ(→A(T_A))から点Tは「四面体ABCD」の上方にあり、
直線AT上に上方から点T、頂点A，交点T_Aの順に並んでいる。T_A≠H_Aとしよう。
△(T_A)A(H_A)∽△(T_A)T(T^A) ⇒ A(T_A)：T(T_A)＝A(H_A)：T(T^A)
すなわち 1：κ＝h_A：α よって α＝κ(h_A)＝(3V/S_A)κ となる。T_A=H_Aのときも
式がでる。
以上により、「κ≠1 ⇒ α＝(3V/S_A)κ」が証明された。
(3.2.1)の他の式も同様である。
こうして、[命題3.2]の(1)が「証明」された。
[命題3.2]の (3),(4)が「三線座標」の場合で(3)はh_Aなどで (3.1.5)の代わりに(3.1.1)を使えば同様にできる。
（[命題3.2]の「証明」終わり）
[命題3.3]
(1) 四面体ABCD⊆E^3(3次元空間）とし、点T∈E^3をとる。Tの「重心座標」を
(κ，λ，μ，ν）かつ κ＋λ＋μ＋ν＝１，「四線座標」を(α，β，γ，δ）とする。このとき
α＝(3V/S_A)κ，β＝(3V/S_B)λ，γ＝(3V/S_C)μ，δ＝(3V/S_A)ν ・・・(3.3.1) が成立する。
(2) 四面体ABCD⊆E^3(3次元空間）とし、点T∈E^3をとる。Tの「四線座標」を(α，β，γ，δ）とする。
このとき
(S_A)α＋(S_B)β＋(S_C)γ＋(S_D)δ＝3V ・・・(3.3.2) が成立する。
(3) △ABC⊆E^2（平面)とし、点T∈E^2をとる。Tの「重心座標」を(κ，λ，μ）かつ
κ＋λ＋μ＝１、「三線座標」を(α，β，γ)とする。このとき
α＝(2S/ａ)κ，β＝(2S/ｂ)λ，γ＝(2S/ｃ)μ ・・・(3.3.3) が成立する。
(4) △ABC⊆E^2（平面)とし、点T∈E^2をとる。Tの「三線座標」を(α，β，γ)とする。
このとき ａα＋ｂβ＋ｃγ＝2S ・・・(3.3.4) が成立する。
「証明」
(1) で κ≠1 かつλ≠1 かつ μ≠1 かつ ν≠1 および(3)でκ≠1 かつλ≠1 かつ μ≠1の場合は
[命題3.2]から(1)(2)(3)(4)は成り立つ。
そこで(1)では、
「κ＝1 または λ＝1 または μ＝1 または ν＝1」・・・(3.3.5)のときに「証明」をすればよい。
また(3)では
「κ＝1 または λ＝1 または μ＝1」 ・・・(3.3.6) のときに「証明」をすればよい。
(1)について：
κ＝1 または λ＝1 または μ＝1 または ν＝1 ・・・(3.3.5)とする。
点T∈E^3をとる。Tの「重心座標」を (κ，λ，μ，ν）かつ κ＋λ＋μ＋ν＝１，
「四線座標」を(α，β，γ，δ）とする。 そして κ＝１とする。
(ア) T＝A のときは、頂点A」の「重心座標」は (κ，λ，μ，ν）＝(1，0，0，0)で(3.1.5)から
α＝T(T^A)＝h_A＝(3V/S_A)、 κ＝１だから α＝(3V/S_A)κ がやはり成立する。
(イ) κ＝１でT≠A とすると [系2.3]から (→AT)//「△BCDの造る平面」であり、
よって、またα＝T(T^A)＝h_A＝(3V/S_A)，κ＝１だから α＝(3V/S_A)κ が成立する。
(ウ) κ＝1のとき、λ＋μ＋ν＝0 で 「ベクトルによる重心座標表現」は
任意の点 P∈E^n（ただしn≧3）にたいし
(→PT)＝(→PA)＋λ(→PB)＋μ（→PC)＋ν(→PD) ・・・(3.3.7)
となる。ここで もし λ≠1ならば[命題3.2]から β＝(3V/S_A)κ が成立する。
そこで、さらにλ＝１とすれば、Tの重心座標は(1,1,μ,ν） ，1＋μ＋ν＝０ となる。
よって T≠Bである。 λ＝１だから「系2.3」と同様にして
(→BT)//「△ACDの造る平面」となる。ゆえに β＝T(T^B)＝h_B＝(3V/S_B)となる。λ＝１なので
β＝(3V/S_B)λが成立する。次にμ≠１ならばT≠Cで [命題3.2]からγ＝(3V/S_C)μが成立する。
そこで
（エ）κ＝1 かつ λ＝1かつ μ＝１としよう。するとκ＋λ＋μ＋ν＝１からν＝−2 となる。
μ＝1だから (→CT)//「△ABDの造る平面」となる。
よって γ＝T(T^C)＝h_C＝3V/S_C そしてμ＝1 なのでγ＝(3V/S_C)μ が成立する。
そして ν＝−２なのでν≠1であり、(→DT)//「△ABDの造る平面」とはならない。
ゆえに δ＝(3V/S_D)ν が成立する。
以上により κ＝1 かつ λ＝1かつ μ＝１かつν＝−2のときも
α＝(3V/S_A)κ，β＝(3V/S_B)λ，γ＝(3V/S_C)μ，δ＝(3V/S_D)ν ・・・(3.3.1)が成立する。
(オ) この κ＝λ＝μ＝１かつ ν＝−2のときを図形的に考えてみよう。点Tは「四面体ABCD」に関して
どこにくるのか調べてみる。κ＝λ＝μ＝１かつ ν＝−2より 点Tの「ベクトルによる重心座標表現」は
(→PT)＝(→PA)＋(→PB)＋(→PC)−2(→PD) ・・・(3.3.7)だから 特に P⇒D とおくと
(→DT)＝(→DA)＋(→DB)＋(→DC) ・・・(3.3.8) そこで△ABCの重心をG_D とおくと
G_D の「四面体ABCD」に関する「ベクトルによる重心座標表現」は
(→PG_D)＝1/3(→PA)＋1/3(→PB)＋1/3(→PC)＋0×(→PD）・・・(3.3.9) 。G_Dの「四面体ABCD」
に関する「重心座標」は(1/3，1/3，1/3，0) 、△ABCに関する「重心座標」は(1/3，1/3，1/3）で
あって(3.3.9)で特にP＝D とおいて (→DG_D)＝1/3[(→DA)＋(→DB)＋(→DC)] ・・・(3.3.10)
これと(3.3.8)から (→DT)＝3(→DG_D) ・・・(3.3.11）となる。ゆえに(→DT)はDから対面の
△ABCに向かってその重心G_Dを通り、DG_Dの長さを3倍にしたもので、Tは四面体ABCDの外部の所にある。
つまり D(G_D)：(G_D)Ｔ＝1：2 ・・・(3.3.12)となる。T_D＝G_Dであり、 T(T^D)＝δはδ＜０である。
すなわち (→DT)は「△ABCの造る平面」とは平行にはならず、
T(T^D)：D(H_D)＝T(G_D)：D(G_D)＝(−２):1 ⇒ δ：h_D＝(−2)：１
⇔ δ＝(h_D)×(−2) ・・・(3.3.13)
h_D＝3V/S_D ，ν＝−2だから (3.3.13)は δ＝(3V/S_D)ν となる。
このようにして、κ＝１から始めてλ，μ，νとやっていって、
α＝(3V/S_A)κ，β＝(3V/S_B)λ，γ＝(3V/S_C)μ，δ＝(3V/S_D)ν ・・・(3.3.1) が成立する。
よって他の場合も(3.2.2)は成立する。ゆえに(2)，(4)も成立する。
（[命題3.3]の「証明」終わり）
[命題3.4]
(1)四面体ABCD⊆E^3(3次元空間）とし、点T∈E^3の「重心座標」
(κ，λ，μ，ν），κ＋λ＋μ＋ν＝1 と「四線座標」(α，β，γ，δ）の間には[命題3.3］の(1)の
関係が成立し、1対1の対応がある。「四線座標」では、点が異なれば「四線座標」も異なる。
(2)
△ABC⊆E^2とし、点T∈E^2の「重心座標」(κ，λ．μ），κ＋λ＋μ＝1 と「三線座標」(α，β，γ）の
間には[命題3.3］の(3)の関係が成立し、1対1の対応がある。「三線座標」では、点が異なれば
「三線座標」も異なる。
☆
最後に、「重心座標」、「三線座標」、「四線座標」ともその比さえ分かればよいときもある。
４.
例えば
(1)「内心I]では、内接円，または2次元の内接球面の半径をr＞０とすれば
三角形では (α，β，γ)＝(r，r,r）、四面体では(α，β，γ，δ)＝(r,r，r，r)がそれぞれ
真の「三線座標」と「四線座標」である。その比を考えると、それぞれ
α：β：γ＝１：１：１， α(4)：β(4)：γ(4)：δ(4)＝1:1:1:1となる。
(2)「重心G」では、「△ABC」のその真の「三線座標」は(α，β，γ)＝（2S/3ａ,2S/3ｂ，2S/3ｃ)
その比は α：β：γ＝1/a：１/ｂ：1/ｃ、「四面体ABCD」では、その真の「四線座標」は
(α，β，γ，δ)＝(3V/4S_A，3V/4S_B，3V/4S_C，3V/4S_D)で、「四線座標」の比は
α:β：γ：δ＝1/S_A：1/S_B：1/S_C：1/S_D ・・・(4.1.1)
(3)
「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」を求めてみよう。
任意の点P∈E^nにたいし、その「ベクトルによる重心座標表現」を
(→PI)＝κ(→PA)＋λ(→PB)＋μ(→PC)＋ν(→PD) ・・・(4.1.2) かつ
κ＋λ＋μ＋ν＝1・・・(4.1.3) とし、「内接球面」の半径をr（r＞0)とする。
また「四線座標」を(α，β，γ，δ）とする。
「内心I」から「△BCDの造る平面」、「△ACDの造る平面」、「△BDの造る平面」、
「△ABCの造る平面」へ降ろした「垂線」の足を順にI^A，I^B，I^C，I^Dとすれば
求める条件は
r＝I(I^A)＝I(I^B)＝I(I^C)＝I(I^D) ・・・(4.1.4）
このI(I^A)＝α，I(I^B)＝β，I(I^C)＝γ，I(I^D)＝δ だから(4.1.4)は
r＝α＝β＝γ＝δ ・・・(4.1.5) ここで[命題3.3]の(1)から
α＝(3V/S_A)κ，β＝(3V/S_B)λ，γ＝(3V/S_C)μ，δ＝(3V/S_D)ν だから(4.1.5)は
r＝(3V/S_A)κ＝(3V/S_B)λ＝(3V/S_C)μ＝(3V/S_D)ν ・・・(4.1.6) となり、
これをκ＋λ＋μ＋ν＝1・・・(4.1.3)のもと、5つの方程式で、5つの未知数κ，λ，μ，νとrを
解けばよい。
(4.1.6)にたいしていわゆる「加比の理」を用いれば、
r＝(3V/S_A)κ＝(3V/S_B)λ＝(3V/S_C)μ＝(3V/S_D)ν
＝(3Vκ＋3Vλ＋3Vμ＋3Vν)/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)＝(3V)(κ＋λ＋μ＋ν)/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)
＝(3V)/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)
よって r＝(3V)/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)・・・(4.1.7)
κ＝S_A/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)、λ＝S_B/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)，
μ＝S_C/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)，ν＝S_D/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)・・・(4.1.8)
と解けた。これらを(4.1.2)に代入して、次の「定理4.2]が得られた。
「定理4.2]
「四面体ABCD」の2次元の「内接球面」の半径をr（ r＞0）とし「内心」をIとしたとき、
「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」は 任意の点P∈E^n(ただし n≧2)
にたいして
(→PI)＝[1/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)]×[(S_A)(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_A)(→PC)＋(S_D)(→PD)]
・・・(4.2.1)
その半径rは r＝(3V)/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)・・・(4.2.2)
detJ(3)＝(6V)^2 だから (4.2.2)は
r＝√[detJ(3)]/2(S_A＋S_B＋S_C＋S_D) ・・・(4.2.3）とも表現される。
☆ 同様に「角D内で△ABCで『傍接する』傍接球面」の「中心」を「E_D」で表せば。
「傍心E_D」の「ベクトルによる重心座標表現」は 任意の点P∈E^n(ただし n≧2)
にたいして
(→PE_D)＝[1/(S_A＋S_B＋S_C−S_D)]×[(S_A)(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_A)(→PC)−(S_D)(→PD)]
・・・(4.2.4)
2F＝S_A＋S_B＋S_C＋S_D とおけば、
(→PE_D)＝[1/2(F−S_D)]×[(S_A)(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_A)(→PC)−(S_D)(→PD)]
そして、この傍接球面の半径r_Bは
r_D＝(3V)/(S_A＋S_B＋S_C−S_D)＝√[(detJ(3)]/2(S_A＋S_B＋S_C−S_D)
＝√[detJ(3)]/4(F−S_D) ・・・(4.2.5)
などとなる。三角形の場合も容易に求まる。これらはまた、次回に示そう。
最終更新：2009年02月16日 11:05
