*&italic(){}&u(){四面体の垂心・外心・内心の重心座標表現の具体例_第6例 2009.02.23(月)}
1.一般に四面体ABCDの6辺の長さを BC＝a ，CA＝b ，AB＝c，BD＝e ，CD＝f とおく。
また その体積を Vとおく。
「垂心四面体ABCD』になる条件は主に次の(ア)(イ)(ウの3通りがあった。
(ア)
AB⊥CD かつ AC⊥BD かつ AD⊥BC ・・・(1.1.1)
この3つの「垂直条件」は2つが成立すれば、残りの1つも成立する。
(イ)
$$ AB^2+CD^2=AC^2+BD^2=AD^2+BC^2 $$・・・(1.1.2)
すなわち $$ a^2+d^2=b^2+e^2=c^2+f^2 $$・・・(1.1.3)
(ウ)
$$ \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right) $$
⇔ $$ \left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right) $$
⇔$$ \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD}\right)=\left(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD}\right) $$
⇔$$ \left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)=\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}\right)=\left(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}\right) $$
のどれか1つの条件が成立すること
の３通りである。(ア)⇔(ウ)は明らかであり (ア)と(イ)の同値性は「高校の教科書にも載っている」
ようである。
「垂心四面体」においては、
$$ x=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right) $$
$$ y=\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\right) $$
$$ z=\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD}\right)=\left(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD}\right) $$
$$ w=\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)=\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC}\right)=\left(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}\right) $$
・・・(1.1.4)
とする。そのとき、
$$ x+y=AB^{2}=c^{2} ,x+z=AC^{2}=b^{2} ,x+w=AD^{2}=d^{2} $$
$$ y+z=BC^2=a^2 ,y+w=BD^2=e^2 ,z+w=CD^2=f^2 $$ ・・・(1.1.5)
また、$$ a^2+d^2=b^2+e^2=c^2+f^2 $$ だから、
$$ e^2=\left(a^2+d^2\right)-b^2=d^2+\left(a^2-b^2\right),f^2=\left(a^2+d^2\right)-c^2=d^2+\left(a^2-c^2\right) $$ ・・・(1.1.6)
さらに$$ \det{J(3)}=\left(6V\right)^2=yzw+xwz+xyw+xyz $$
$$ =\left(x+w\right)yz+\left(y+z\right)xw=d^{2}yz+a^{2}xw $$・・・(1.1.7)
などは以前に示した。
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2.
さて、今回の「垂心四面体の第6例」は極めて分かりやすく「よくある四面体」といえよう。
底面に△ABCがくるように四面体ABCDをを配置する。この△ABCは1辺の長さがaの「正三角形」とし、
上方にとった頂点Dは正三角形ABCの重心に立てた垂線上にあるとする。
すなわち、この四面体ABCDはBC=CA＝AB＝a，AD＝BD＝CD＝d ・・・(2.1.1)とする。
つまり，上で述べた、a,b,c,d,e,fを使えば
「ｂ＝ｃ＝ａ，AD＝d，BD＝e＝ｄ，CD＝ｆ＝ｄ」 となるものである。
これが
「垂心四面体ABCD」であることは、1.の「条件(イ)」を満たすからである。
実際 、△ABCは正三角形でｃ＝ｂ＝a，ｆ＝e＝ｄより
$$ b^2+e^2=a^2+d^2 ,c^2+f^2=a^2+d^2 \rightarrow b^2+e^2=c^2+f^2=a^2+d^2 $$
すなわち(イ)が成り立つからである。
そこで、この「垂心四面体」の諸量は正の数ａとｄで表される筈である。
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まず1.に示したxを計算しよう。
$$ x=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right) $$であるが、
$$ x=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right) $$
$$ =\frac{|AB|^2+|AC|^2-|BC|^2}{2}=\frac{a^2+a^2-a^2}{2}=\frac{a^2}{2} $$
よって (1.1.5)から$$ y=c^2-x=a^2-x=\frac{a^2}{2} ,z=b^2-x=a^2-x=\frac{a^2}{2} $$ ,
$$ w=d^2-x=d^2-\frac{a^2}{2} $$ こうして
$$ x=y=z=\frac{a^2}{2} $$ ・・・ (2.1.1) ，$$ w=d^2-x=d^2-\frac{a^2}{2} $$ ・・・(2.1.2)となった。
そこで $$ \det{J(3)}=yzw+xzw+xyw+xyz $$・・・(2.1.3)の
$$ yzw=xzw=xyw=x^2w ,また xyz=x^3 $$・・・(2.1.4)となるので、
$$ \det{J\left(3\right)}=yzw+xwz+xyw+xyz=3x^2w+x^3=x^2\left(3w+x\right) $$ ・・・(2.1.5)
$$ =x^2\left[3\left(d^2-\frac{a^2}{2}\right)+\frac{a^2}{2}\right]$$
$$ =x^2\left(3d^2-a^2\right)=\frac{a^4}{4}\left(3d^2-a^2\right) $$・・・(2.1.6)
「垂心四面体」の条件を満たすものが「立体」つまり「四面体」になる条件は
$$ \det{J\left(3\right)}>0 $$ だけで必要十分である。このことはあとの「復習」の(3.1.4)の
$$ \det{J\left(3\right)}=4S_D{}^{2}k^2-\left(abc\right)^{2}>0 $$ からの$$ 4S_D{}^{2}>\frac{\left(abc\right)^{2}}{k^2}>0 $$より分かる。
そして $$ \det{J(3)}>0 $$ ⇔ $$ 3d^2-a^2>0 $$ ⇔ $$ d^2>\frac{a^2}{3} $$ ・・・(2.1.7)
このとき、$$ V=\frac{1}{6}\sqrt{\det{J(3)}}=\frac{1}{12}a^2\sqrt{3d^2-a^2} $$
すなわち「体積」$$ V=\frac{1}{12}a^{2}\sqrt{3d^2-a^2} $$・・・(2.1.8)
こうして
[命題2.2]
この「四面体ABCD」ができるためのａ，ｄの必要十分条件は $$ d^2>\frac{a^2}{3} $$・・・(2.2.1)
◎次の[命題2.3]は以下の4.の「計算(2)(3)」から分かる。
[命題2.3]
(エ) $$ w<0 $$ ⇔ $$ \frac{a^2}{3}<d^2<\frac{a^2}{2} $$ のとき、△DAB,△DAC，△DBCは鈍角三角形で、「垂心H」は
「四面体の外部」で「頂点Dよりも上方」にあり、「外心O」は「四面体の外部」で△ABCの下方にくる。
(オ)$$ w=0 $$ ⇔ $$ d^2=\frac{a^2}{2} $$のとき、△DAB,△DAC，△DBCは直角2等辺三角形で
「D−3直角四面体」 であり、「垂心H」＝「頂点D」で、「外心O」は四面体の外部」で
△ABCの下方にきて、
$$ \overrightarrow{PO}=\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PD}}{2} $$となる。
(カ)$$ w>0 $$ ⇔$$ d^2>\frac{a^2}{2} $$ のとき、△DAB,△DAC，△DBCは鋭角2等辺三角形で「垂心H」は
「四面体の内部」にあり、
$$ \frac{a^2}{2}<d^2<\frac{2}{3}a^2 $$ならば、「外心O」は四面体の外部」で△ABCの下方にくる。
$$ d^2=\frac{2}{3}a^2 $$ ならば「外心O」は△ABC上にあり、△ABCの「重心」のところである。
$$ d^2>\frac{2}{3}a^2 $$ならば「垂心H」も[外心O」とも「四面体の内部」にくる。
(キ) 特に $$ d=a $$ ならば、この「垂心四面体」は「1辺の長さaの正四面体」である。
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3.
＜復習をしておく＞：一般の「垂心四面体ABCD」について、x,y,z,wを上の(1.1.4)のようにおく。
そして 正の数kを 1.の「条件(イ)」の$$ a^2+d^2=b^2+d^2=c^2+d^2=k^2 $$ ・・・(3.1.1)を
満たすものとし、また、△BCD、△ACD，△ABD，△ABCの面積をS_A，S_B，S_C，S_D とする。
(1) 「垂心四面体ABCD]の体積Vは $$ \det{J(3)}=\left(3!V\right)^{2}=\left(6V\right)^{2} $$・・・(3.1.2)を満たし、
$$ \det{J\left(3\right)}=4S_D^{2}d^2-a^{2}x^{2}=d^2\left[\left(bc\right)^{2}-x^2\right]-a^{2}x^{2} $$
$$ =\left(bcd\right)^2-\left(a^2+d^2\right)x^{2}=\left(bcd\right)^2-k^{2}x^2} $$・・・(3.1.3)
$$ \det{J\left(3\right)}=4S_D{}^{2}\left(k^2-a^2\right)-a^{2}x^{2}=4S_D{}^{2}k^{2}-a^{2}\left[4S_D{}^{2}-x^{2}\right] $$
$$ =4S_D{}^{2}k^{2}-a^2\left(bc\right)^{2}=4S_D{}^{2}k^{2}-\left(abc\right)^{2} $$・・・(3.1.4)
（∵ $$ 4S_D{}^{2}=\left(bc\right)^{2}-x^{2} $$ だから）
よって
$$ 4\det{J\left(3\right)}=4\left(6V\right)^{2} $$
$$ =d^{2}\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)-a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2} $$・・・(3.1.5)
(2)「垂心四面体ABCD」の「垂心H]の「ベクトルによる重心座標表現」は任意の点 $$ P\in {E^n} \left(n\ge{3}\right) $$ にたいして
$$ \overrightarrow{PH}=\frac{yzw\overrightarrow{PA}+xzw\overrightarrow{PB}+xyw\overrightarrow{PC}+xyz\overrightarrow{PD}}{\det{J(3)}} $$・・・(3.1.6)
そして$$ \det{J(3)}=yzw+xzw+xyw+xyz $$・・・(3.1.7) が成り立つ。
(3)「垂心四面体ABCD]の「外心Ｏ]の「ベクトルによる重心座標表現」は
任意の点$$ P\in {E^n} ,\left(n\ge{3}\right) $$にたいして
$$ \overrightarrow{PO}=\frac{\left(-yzw+xzw+xyw+xyz\right)\overrightarrow{PA}+\left(yzw-xzw+xyw+xyz\right)\overrightarrow{PB}}{2\det{J\left(3\right)}} $$
$$ +\frac{\left(yzw+xzw-xyw+xyz\right)\overrightarrow{PC}+\left(yzw+xzw+xyw-xyz\right)\overrightarrow{PD}}{2\det{J\left(3\right)}} $$ ・・・(3.1.8)
$$ =\frac{\left(\det{J(3)}-2yzw\right)\overrightarrow{PA}+\left(\det{J(3)}-2xzw\right)\overrightarrow{PB}}{2\det{J(3)}} $$
$$ +\frac{\left(\det{J(3)}-2xyw\right)\overrightarrow{PC}+\left(\det{J(3)}-2xyz\right)\overrightarrow{PD}}{2\det{J(3)}} $$ ・・・(3.1.9)
(3・4行目の式は (3.1.7)を用いるとでてくる）
(4)「2次元外接球面」の半径をR(3)とすると、
$$ R\left(3\right)}{}^2=\frac{k^2}{4}-\frac{xyzw}{\det{J\left(3\right)}} $$・・・(3.1.10)
(5)
$$ 4S_A{}^2=zw+yw+yz ,4S_B{}^{2}=zw+xw+xz,$$
$$ 4S_C{}^2=yw+xw+xy, 4S_D{}^2=yz+xz+xy $$ ・・・(3.1.11)
(6) 各面△BCD，△ACD，△ABD，△ABCの「三角形」としての「垂心」をそれぞれ
H_A，H_B，H_C，H_Dとすれば、「ベクトルによる重心座標表現」は
任意の点 $$ P \in{E^n} \left(n \ge{2}\right) $$にたいして
$$ \overrightarrow{PH_A}=\frac{zw\overrightarrow{PB}+yw\overrightarrow{PC}+yz\overrightarrow{PD}}{4S_A{}^2} , \overrightarrow{PH_B}=\frac{zw\overrightarrow{PA}+xw\overrightarrow{PC}+xz\overrightarrow{PD}}{4S_B{}^2} $$,
$$ \overrightarrow{PH_C}=\frac{yw\overrightarrow{PA}+xw\overrightarrow{PB}+xy\overrightarrow{PD}}{4S_C{}^{2}} ,\overrightarrow{PH_D}=\frac{yz\overrightarrow{PA}+xz\overrightarrow{PB}+xy\overrightarrow{PC}}{4S_D{}^2} $$ ・・・(3.1.12)
(7) 各面△BCD，△ACD，△ABD，△ABCの「三角形」としての「外心」をそれぞれ
O_A，O_B，O_C，O_Dとすれば、「ベクトルによる重心座標表現」は
任意の点$$ P \in{E^n} \left(n\ge{2}\right) $$ にたいし
$$ \overrightarrow{PO_A}=\frac{y\left(z+w\right)\overrightarrow{PB}+z\left(y+w\right)\overrightarrow{PC}+w\left(y+z\right)\overrightarrow{PD}}{8S_A{}^2} $$ ,
$$\overrightarrow{PO_B}=\frac{x\left(z+w\right)\overrightarrow{PA}+z\left(x+w\right)\overrightarrow{PC}+w\left(x+z\right)\overrightarrow{PD}}{8S_B{}^2} $$,
$$ \overrightarrow{PO_C}=\frac{x\left(y+w\right)\overrightarrow{PA}+y\left(x+w\right)\overrightarrow{PB}+w\left(x+y\right)\overrightarrow{PD}}{8S_C{}^2} $$ ,
$$ \overrightarrow{PO_D}=\frac{x\left(y+z\right)\overrightarrow{PA}+y\left(x+z\right)\overrightarrow{PB}+z\left(x+y\right)\overrightarrow{PC}}{8S_D{}^2} $$・・・(3.1.13)
(8)「2次元の内接球面」の半径r 及び「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」は
任意の点 $$ P\in{E^{n}} \left(n\gt{3}\right) $$にたいして
$$ \overrightarrow{PI}=\frac{S_A\overrightarrow{PA}+S_B\overrightarrow{PB}+S_C\overrightarrow{PC}+S_D\overrightarrow{PD}}{S_A+S_B+S_C+S_D} $$・・・(3.1.14)
その半径rは
$$ r=\frac{\sqrt{\det{J\left(3\right)}}}{2\left(S_A+S_B+S_C+S_D\right)} $$ ・・・(3.1.15)
(9) 「七平方定理」
$$ \left(2S_A\right)^2+\left(2S_B\right)^2+\left(2S_C\right)^2+\left(2S_D\right)^2=\left(ad\right)^2+\left(be\right)^2+\left(cf\right)^2 $$・・・(3.1.16)
(1)〜(8)は求めて、(9)は確認してみよう。
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4.
上記3.のことをこの「垂心四面体_第6例」について計算しよう。
(2)
(2.1.4) の $$ yzw=xzw=xyw=x^{2}w $$ ,また $$ xyz=x^3 $$と、
(2.1.6)の $$ \det{J\left(3\right)}=x^2\left(3w+x\right)=x^2\left(3d^2-a^2\right) $$ から
「垂心H]の「ベクトルによる重心座標表現」は任意の点$$ P\in {E^n} \left(n\ge{3}\right) $$にたいして
$$ \overrightarrow{PH}=\frac{x^{2}w\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)+x^3\overrightarrow{PD}}{x^{2}\left(3d^2-a^2\right)} $$
$$ =\frac{w\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)+x\overrightarrow{PD}}{3d^2-a^2} $$
$$ =\frac{\left(2d^2-a^2\right)\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)+a^2\overrightarrow{PD}}{2\left(3d^2-a^2\right)} $$・・・(4.1.1)
(3)「外心Ｏ]の「ベクトルによる重心座標表現」は(2.1.6)より
$$ \overrightarrow{PO}=\det{J(3)}-2yzw=x^2(3w+x)-2x^{2}w=x^2(w+x),\det{J(3)}-2xzw=x^2(w+x)$$ ,
$$ \det{J(3)}-2xyw=x^2(w+x),\det{J(3)}-2xyz=x^2\left(3w+x\right)-2x^3=x^2\left(3w-x\right) $$ だから
(3.1.9)は
$$ \overrightarrow{PH}=\frac{\left(\det{J(3)}-2yzw\right)\overrightarrow{PA}+\left(\det{J(3)}-2xzw\right)\overrightarrow{PB}+\left(\det{J(3)}-2xyw\right)\overrightarrow{PC}+\left(\det{J(3)}-2xyz\right)\overrightarrow{PD}}{2\det{J(3)}} $$
$$ =\frac{x^2\left(w+x\right)\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)+x^2\left(3w-x\right)\overrightarrow{PD}}{2x^{2}\left(3d^2-a^2\right)} $$
$$ =\frac{\left(w+x\right)\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)+\left(3d^2-4x\right)\overrightarrow{PD}}{2\left(3d^2-a^2\right)} $$
$$ =\frac{d^2\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)+\left(3d^2-2a^2\right)\overrightarrow{PD}}{2\left(3d^2-a^2\right)} $$・・・(4.1.2)
☆ (2)(3)から直ちに $$ \overrightarrow{PH}+\overrightarrow{PO}=\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}}{2} $$
すなわち $$ \frac{\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{PO}}{2}=\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}}{4} $$・・・(4.1.3)
「四面体のオイラー線の関係」が成り立っている。
(5)
$$ x=\frac{a^2}{2},w=d^2-x=d^2-\frac{a^2}{2} $$ だから
$$ 4S_A{}^2=xw+xw+x^2=x\left(x+2w\right) $$
$$ =x\left[x+2\left(d^2-x\right)\right]=x\left(2d^2-x\right) $$
$$ =\frac{x\left(4d^2-a^2\right)}{2}=\frac{a^2\left(4d^2-a^2\right)}{4} $$
$$ 4S_B{}^2=zw+xw+xz=xw+xw+x^2=x\left(x+2w\right),$$
$$ 4S_C{}^2=yw+xw+xy=xw+xw+x^2=x\left(x+2w\right) $$ ゆえに
$$ 4S_A{}^2=4S_B{}^2=4S_C{}^2=\frac{x\left(4d^2-a^2\right)}{2}=\frac{a^2\left(4d^2-a^2\right)}{4} $$・・・(4.1.4)
$$ d^2>\frac{a^2}{3} $$ から $$ 4S_A{}^2=4S_B{}^2=4S_C{}^2 $$
$$ =\frac{x\left(4d^2-a^2\right)}{2}>0 $$ となり問題はない。
また $$ S_A=S_B=S_C=\frac{a\sqrt{4d^2-a^2}}{4} ・$$・・(4.1.2)
$$ 4S_D{}^2=3x^2=3\left(\frac{a^2}{2}\right)^2=\frac{3a^4}{4}>0,$$
$$ S_D=\frac{\sqrt{3}a^2}{4} $$・・・(4.1.5)
(9) &bold(){七平方定理}の確認をしよう。
$$ 4S_A{}^2+4S_B{}^2+4S_C{}^2+4S_D{}^2=3x\left(x+2w\right)+3x^2=6x\left(x+w\right)=3a^{2}d^2=3\left(ad\right)^2 $$ ・・・(4.1.6)
（∵ $$ 4S_D{}^2=3x^2,4S_A{}^2=4S_B{}^2=4S_C{}^2=x\left(x+2w\right) $$ と(1.1.5)の $$ x+w=d^2 $$ )
一方 $$ \left(ad\right)^2+\left(be\right)^2+\left(cf\right)^2=\lrft(ad\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(ad\right)^2=3\left(ad\right)^2 $$・・・(4.1.7)
ゆえに
$$ \left(2S_A\right)^2+\left(2S_B\right)^2+\left(2S_C\right)^2+\left(2S_D\right)^2=\left(ad\right)^2+\left(be\right)^2+\left(cf\right)^2 $$ で成立。
(8) $$ 2F=S_A+S_B+S_C+S_D=\frac{3a\sqrt{4d^2-a^2}}{4}+\frac{\sqrt{3}a^2}{4}=\frac{\sqrt{3}a\sqrt{3\left(4d^2-a^2\right)}+a}{4} $$
・・・ (4.1.8)となるから
「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現は,
$$ \overrightarrow{PI}=\frac{S_A\overrightarrow{PA}+S_B\overrightarrow{PB}+S_C\overrightarrow{PC}+S_D\overrightarrow{PD}} {S_A+S_B+S_C+S_D} $$
$$ =\frac{a\sqrt{4d^2-a^2}\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)+\sqrt{3}a^2\overrightarrow{PD}}{\sqrt{3}a\left[\sqrt{3\left(4d^2-a^2\right)}+a\right]} $$
$$ =\frac{\sqrt{4d^2-a^2}\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)+\sqrt{3}a\overrightarrow{PD}}{\sqrt{3}\left[\sqrt{3\left(4d^2-a^2\right)}+a\right]} $$
・・・(4.1.9)
内接球面の半径rは (2.1.6)から
$$ r=\frac{\sqrt{\det{J(3)}}}{2\left(S_A+S_B+S_C+S_D\right)} $$
$$ =\frac{a^2\sqrt{3d^2-a^2}}{\sqrt{3}a\left[\sqrt{3\left(4d^2-a^2\right)}+a\right]}=\frac{a\sqrt{3d^2-a^2}}{\sqrt{3}\left[\sqrt{3\left(4d^2-a^2\right)}+a\right]} $$・・・(4.1.10)
$$ r^2=\frac{a^2\left(3d^2-a^2\right)}{3\left[\sqrt{3\left(4d^2-a^2\right)}+a\right]^2} $$ ・・・(4.1.11)
(6) $$ x=\frac{a^2}{2}>0 $$だから
$$ \overrightarrow{PH_A}=\frac{zw\overrightarrow{PB}+yw\overrightarrow{PC}+yz\overrightarrow{PD}}{4S_A{}^2} $$
$$ =\frac{xw\overrightarrow{PB}+xw\overrightarrow{PC}+x^2\overrightarrow{PD}}{x\left(x+2w\rigfht)} $$
$$ =\frac{w\overrightarrow{PB}+w\overrightarrow{PC}+x\overrightarrow{PD}}{x+2w} $$
$$ =\frac{2\left(d^2-\frac{a^2}{2}\right)\overrightarrow{PB}+2\left(d^2-\frac{a^2}{2}\right)\overrightarrow{PC}+2\frac{a^2}{2}\overrightarrow{PD}}{4d^2-a^2} $$
$$ =\frac{\left(2d^2-a^2\right)\left(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)+a^2\overrightarrow{PD}}{4d^2-a^2} $$
すなわち
$$ \overrightarrow{PH_A} $$
$$ =\frac{\left(2d^2-a^2\right)\left(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)+a^2\overrightarrow{PD}}{4d^2-a^2} $$
・・・(4.1.12)
同様にして
$$ \overrightarrow{PH_B}=\frac{\left(2d^2-a^2\right)\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}\right)+a^2\overrightarrow{PD}}{4d^2-a^2} $$・・・(4.1.13)
$$ \overrightarrow{PH_C}=\frac{\left(2d^2-a^2\right)\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}\right)+a^2\overrightarrow{PD}}{4d^2-a^2} $$・・・(4.1.14)
△ABCは1辺aの「正三角形」だからH_Dは△ABCの「重心」よって
$$ \overrightarrow{PH_D}=\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}}{3} $$ のはずである。
$$ \overrightarrow{PH_D}=\frac{yz\overrightarrow{PA}+xz\overrightarrow{PB}+xy\overrightarrow{PC}}{4S_D{}^2}=\frac{4x^2\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)}{3a^4} $$
$$ =\frac{a^4\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)}{3a^4} $$
$$ =\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}}{3} $$ でO.K.
(7)
$$ \overrightarrow{PO_A}=\frac{x\left(x+w\right)\overrightarrow{PB}+x\left(x+w\right)\overrightarrow{PC}+2xw\overrightarrow{PD}}{2x\left(x+2w\right)} $$
$$ =\frac{\left(x+w\right)\overrightarrow{PB}+\left(x+w\right)\overrightarrow{PC}+2w\overrightarrow{PD}}{2\left(x+2w\right)} $$
$$ =\frac{d^2\overrightarrow{PB}+d^2\overrightarrow{PC}+2\left(d^2-\frac{a^2}{2}\right)\overrightarrow{PD}}{4d^2-a^2} $$
$$ =\frac{d^2\left(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)+\left(2d^2-a^2\right)\overrightarrow{PD}}{4d^2-a^2} $$・・(4.1.15)
同様に
$$ \overrightarrow{PO_B}=\frac{d^2\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}\right)+\left(2d^2-a^2\right)\overrightarrow{PD}}{4d^2-a^2} $$ ・・・(4.1.16)
$$ \overrightarrow{PO_C}=\frac{d^2\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}\right)+\left(2d^2-a^2\right)\overrightarrow{PD}}{4d^2-a^2} $$・・・ (4.1.17)
O_Dは正三角形ABCの「重心」になるので、$$ \overrightarrow{PO_D}=\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}}{3} $$ のはず。
$$ \overrightarrow{PO_D}=\frac{2\left(2x^2\overrightarrow{PA}+2x^2\overrightarrow{PB}+2x^2\overrightarrow{PC}\right)}{3a^4}=2\frac{a^4}{2}\frac{\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{[PC}\right)}{3a^4} $$
$$ =\frac{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}}{3} $$ でO.K.
(4)「2次元外接球面」の半径R(3)は(2.1.6)の $$ \det{J\left(3\right)}=x^2\left(3d^2-a^2\right) $$
より
$$ \left[R\left(3\right)\right]^2=\frac{k^2}{4}-\frac{xyzw}{\det{J(3)}} $$
$$ =\frac{a^2+d^2}{4}-\frac{x^{3}w}{x^2\left(3d^2-a^2\right)}=\frac{a^2+d^2}{4}-\frac{xw}{3d^2-a^2} $$
$$ =\frac{\left(a^2+d^2\right)\left(3d^2ーa^2\right)-a^2\left(2d^2-a^2\right)}{4\left(3d^2-a^2\right)} $$
$$ =\frac{3d^4+2\left(ad)\right)^2-a^4-2\left(ad\right)^2+a^4}{4\left(3d^2-a^2\right)}=\frac{3d^4}{4\left(3d^2-a^2\right)} $$
$$ R\left(3\right){}^2=\frac{3d^4}{4\left(3d^2-a^2\right)} $$ ・・・(4.1.18)
ゆえに $$ R\left(3\right)=\frac{\sqrt{3}d^2}{2\sqrt{3d^2-a^2}} $$・・・(4.1.19)
最終更新：2009年02月23日 23:34
