（ なお、三角形の「三線座標」については2009.2.16のBlogを見てください ）
1.「重心座標」の復習 「四面体ABCD」の「重心座標」と、頂点Aの対面の「△BCD」に関する「重心座標」との関連を述べる。
「n次元ユークリッド空間」をE^n で表わすことにする。
ここにnは自然数としておく。
E^3は3次元ユークリッド空間ということになる。
「四面体ABCD」⊆E^3⊆E^n、ただし n≧3としておく。頂点Aが上方にあり、△BCDが底面に あるとする。頂点Aを通り、底面の「△BCD」に平行な平面をπで表しておく。 A∈πであることに注意しておく。このとき、次の[命題1.1]が成り立つ。 [命題1.1] 記号は上の通りとする。 点 T∈E^3 をとり、Tはπには属してないとする。上の注意から T≠Aであって 「直線AT」が考えられる。「Tはπには属してない」から「直線AT」は「△BCDの造る平面」と ただ1点で交わる。 その点を以前のブログのように T_A で表すことにする。T_Aは「直線AT上の点」だから
(→AT)＝(1−t)(→A(T_A)) … (1.1.1) となる実数 tが存在する。
T_Aの「△BCD」に関する「重心座標」を(β，γ,δ) 、ただし β＋γ＋δ＝1とすると 任意の点P∈E^nに対し (→P(T_A))＝β(→PB)＋γ(→PC)＋δ(→PD) … (1.1.2) かつ β＋γ＋δ＝１ … (1.1.3)
また、点Tの「四面体ABCD」に関する「ベクトルによる重心座標表現」を 任意の点P∈E^nに対し
(→PT)＝κ(→PA)＋λ(→PB)＋μ(→PC)＋ν(→PD ) … (1.1.4) かつ κ＋λ＋μ＋ν＝1 … (1.1.5) とする
⇒ (1) t＝κ (カッパ ) であって (1.1.1) は(→AT)＝(1−κ)(→A(T_A)) … (1.1.6) となり、
(2) λ＝(1−κ)β , μ＝(1−κ)γ ， ν＝(１−κ)δ … (1.1.7) となる。
[証明] 点Pは任意の点だから(1.1.2),(1.1.4)において P ⇒ Dと置き換えて (→A(T_A))＝β(→AB)＋γ(→AC)＋δ(→AD) … (1.1.8) かつ (→AT)＝λ(→AB)＋μ(→AC)＋ν(→AD) これらを(1.1.1)に代入すれば、 λ(→AB)＋μ(→AC)＋ν(→AD)＝(1−t){β(→AB)＋γ(→AC)＋δ(→AD)} すなわち λ(→AB)＋μ(→AC)＋ν(→AD)＝(1−t)β(→AB)＋(1−t)γ(→AC)＋(1−t)δ(→AD) … (1.1.9) 点Aは、「△BCD上にはなく」、(→AB)，(→AC)，(→AD)は一次独立であるから λ＝(1−t)β , μ＝(1−t)γ ， ν＝(1−t)δ … (1.1.10) (1.1.10)の3式を両辺同士加えあわせて λ＋μ＋ν＝(1−t)(β＋γ＋δ) (1.1.3)から β＋γ＋δ＝１なので ⇔ λ＋μ＋ν＝1−t ここで (1.1.5) から λ＋μ＋ν＝1−κ なので ⇔ 1−κ＝1−t ⇔ t＝κ となる。これを (1.1.1)， (1.1.10)に代入すれば
(→AT)＝(1−κ)(→A(T_A)) ，λ＝(1−κ)β , λ＝(1−κ)γ ， μ＝(１−κ)δ となる。
（[命題1.1]の「証明」終わり ）
[命題1.2] （ [命題1.1]と同値である ）
記号は[命題1.1]の通りとする。 「直線AT」が「△BCDの造る平面」と1点T_Aで交わる
⇒ (→T(T_A))＝κ(→A(T_A)) … (1.2.1)
「証明」 [命題1.1]の (1.1.6) (→AT)＝(1−κ)(→A(T_A))を書き変えて
(→A(T_A))＋(→(T_A)T)＝(→A(T_A))−κ(→A(T_A)) ⇔ (→T(T_A))＝κ(→A(T_A))
（[命題1.2]の「証明」終わり ）
[命題1.3] 記号などは[命題1.1]の通りとする。
「直線 AT」が「△BCDの造る平面」と 1点T_Aで交わる
⇒ AT：T(T_A)＝(1−κ)：κ
すなわち 点Tは 線分A(T_A)を 「(1−κ)：κの比に分ける点」である 「証明」 [命題1.1]，[命題1.2] から (→AT)＝(1−κ)(→A(T_A)) … (1.1.6) かつ (→T(T_A))＝κ(→A(T_A)) … (1.2.1) よって 成り立つ。
（[命題1.3]の「証明」終わり ）
[命題1.4] 記号などは[命題1.1]の通りとする。点Tの「四面体ABCD」に関する「重心座標]を (κ，λ，μ，ν) ，κ＋λ＋μ＋ν＝1 としておく。 そのとき、 T∈π ⇔ κ＝１ (カッパ＝1）
ここに πは「四面体ABCD」の[頂点Aを通り底面の△BCDに平行な平面]である。
「証明」 (1) T∈πとしよう。このとき、κ＝1を以下に示す。 (ア) Ｔ＝Aなら 点Aの「ベクトルによる重心座標表現」は (→PA)＝1×(→PA)＋0×(→PB)＋0×(→PC)＋0×(→PD) だから 点Aの「重心座標」は(1，0，0，0) である。よって T＝A ⇔(κ,λ,μ,ν)＝(1,0,0,0)で κ＝1となり、O.K. 次に (イ）T≠Aの場合を考える。このとき 「直線AT」が考えられる。 T∈πとしているから、[直線AT]//π ⇔[直線AT]//[底面の「△BCDの造る平面」]となる。 (→DB)，(→DC) は一次独立だから実数β，γが一意的に存在し、 (→AT)＝β(→DB)＋γ(→DC) … (1.4.1) と書ける。
⇔ (→PT)−(→PA)＝β{(→PB)−(→PD)}＋γ{(→PC)−(→PD)} ⇔ (→PT)＝1×(→PA)＋β(→PB)＋γ(→PC)＋{−(β＋γ)}(→PD) … (1.4.2) そこで 点Tの「ベクトルによる重心座標表現」を (→PT)＝κ(→PA)＋λ(→PB)＋μ(→PC)＋ν(→PD) … (1.4.3) かつ κ＋λ＋μ＋ν＝1とすれば、1＋β＋γ＋{−(β＋γ)}＝1 に注意して 「ベクトルによる重心座標表現」の一意性から (κ，λ，μ，ν)＝(1,β,γ,−(β＋γ)) ⇒ κ＝１となる。
(2) 逆に κ＝1 としよう。このとき、T∈πを以下に示す。 つまり 点Tの「重心座標」が(κ,λ,μ,ν)＝(1,λ,μ,ν)， かつ λ＋μ＋ν＝0 とする。 すると点Tの「ベクトルによる重心座標表現」は (→PT)＝κ(→PA)＋λ(→PB)＋μ(→PC)＋ν(→PD) ＝(→PA)＋λ(→PB)＋μ(→PC)＋ν(→PD) ⇔ (→PT)−(→PA)＝λ(→PB)＋μ(→PC)＋ν(→PD) ⇔ (→AT)＝λ(→PB)＋μ(→PC)＋κ(→PD) ，λ＋μ＋ν＝0から ν＝−(λ＋μ)を代入し ⇔ (→AT)＝λ(→PB)−(→PD)} ＋μ{(→PC)−(→PD)} ⇔ (→AT)＝λ(→DB)＋μ(→DC) ここで λ(→DB)＋μ(→DC)は「△BCDに平行な平面上」を動き回る。 (→AT)は点Aが始点なので (→AT)//[底面の「△BCDの造る平面」] すなわち T∈πとなる。
（ [命題1.4]の「証明」終わり）
[命題1.5] 記号などは[命題1.1]の通りとする。点T∈E^3をとり、その「四面体ABCD」に関する 「重心座標」を(κ,λ,μ,ν)，κ＋λ＋μ＋ν＝1とする。κ≠1であるとする。上記[命題1.4]の対偶より Tは平面πには属さず、T≠Aで 直線ATは底面の「△BCDの造る平面」と1点で交わる。 その交点をT_Aとすれば、T_Aの「△BCD」に関する「重心座標」(β,γ,δ)，β＋γ＋δ＝1は 次のようになる。
β＝λ/(1−κ),γ＝μ/(1−κ)，δ＝ν/(1−κ) …(1.5.1)
⇔ β＝λ/(λ＋μ＋ν),γ＝μ/(λ＋μ＋ν)，δ＝ν/(λ＋μ＋ν) … (1.5.2)
「証明」 [命題1.1]の(2)の(1.1.7) 式 λ＝(1−κ)β , μ＝(1−κ)γ ， ν＝(1−κ)δ において、κ≠1から 1−κ≠0 ゆえに β＝λ/(1−κ) ，γ＝μ/(1−κ)，δ＝ν/(１−κ) これに 1−κ＝λ＋μ＋νを代入すれば (1.5.2)が得られる。 ([命題1.5]の「証明」終わり ）
2. 以下については2009.2.16のブログの内容とほぼ同じです 「四線座標」の復習 (1) 記号の導入：
四面体について：「四面体ABCD」の「体積」をVとし，△BCD，△ACD，△ABD，△ABCの面積を 順に S_A，S_B，S_C，S_D・・・(2.1.1)で表すことにする。 また頂点A，Ｂ，C，Dから対面の△BCD，△ACD，△ABD，△ABCに 降ろした垂線の足を順にH_A，H_B，H_C，H_Dとおき、△BCD，△ACD，△ABD，△ABCを それぞれ「四面体ABCD」の底面と見たときの高さを順に h_A，h_B，h_C，h_D ・・・(2.1.2) とおく。さすれば h_A＝A(H_A)，h_B＝B(H_B)，h_C＝C(H_C)，h_D＝D(H_D)・・・(2.1.3) また、体積 V＝(1/3)(S_A)(h_A)＝(1/3)(S_B)(h_B)＝(1/3)(S_C)(h_C)＝(1/3)(S_D)(h_D)から
h_A＝(3V)/S_A ，h_B＝(3V)/S_B，h_C＝(3V)/S_C ，h_D＝(3V)/S_D ・・・(2.1.4) 場合によっては △BCD＝S_A ，△ACD＝S_B，△ABD＝S_C，△ABC＝S_D ・・・(2.1.5)と略記する。 以後これらをずっと使用する。
(2) ［定義2.1] 四面体ABCDに関する「四線座標」の定義
四面体ABCD⊆E^3(3次元空間）とし、点T∈E^3をとる。点Tから四面体ABCDの各面△BCD，△ACD， △ABD，△ABCに降ろした垂線の足を順にT^A，T^B，T^C，T^D ・・・(2.1.6)とし、 α＝点Tから面△BCDまでの距離＝T(T^A)，β＝点Tから面△ACDまでの距離＝T(T^B)，
γ＝点Tから面△ABDまでの距離＝T(T^C)，δ＝点Tから面△ABCまでの距離＝T(T^D) ・・・(2.1.7)
とおき、その符号は、次のように決める。
例えば点Tが「面BCDの造る平面」に関して、頂点Aと反対側にあるときだけ、α＜0 と考える。・・・(2.1.8)
このようにして「四面体ABCD」を用いて、3次元空間E^3に「三線座標」を真似て「四線座標」が 導入できることが分かる。また、例えば面△ABC上の点Tに関しては、「四面体」での「四線座標」と 「△ABC」での「三線座標」の2通りが考えられる。このとき、「重心座標」のようには 「四線座標」が「三線座標」の「拡張」とはなってはいないので注意する必要がある。区別するときは、 「三線座標」は(α(３)，β(3)，γ(3)）などと書き、「四線座標」の方は(α(4)，β(4)，γ(4)，δ(４)) などで表すことにする。
点Tの「四線座標」の「一意性」は定かではないが、「四面体ABCD」に関する「重心座標」の 「一意性」とこれから述べる[命題2.2]以降によって、明らかになるだろう。
−−「四面体ABCD」に関する「四線座標と「重心座標」との関係ーー
次の[命題2.2]，[命題2.3]は、「3角錐の体積の公式」と「直角三角形同士」の「相似」の関係を 使用しているだけである。
[命題2.2] (1) 四面体ABCD⊆E^3(3次元空間）とし、点T∈E^3をとる。Tの「重心座標」を(κ，λ，μ，ν） かつ κ＋λ＋μ＋ν＝１，「四線座標」を(α，β，γ，δ）とする。 「κ≠1 ⇒ α＝(3V/S_A)κ」，「λ≠1 ⇒ β＝(3V/S_B)λ」 「μ≠1 ⇒ γ＝(3V/S_C)μ」，「ν≠1 ⇒ δ＝(3V/S_D)ν」・・・(2.2.1) が成立する。
(2) 四面体ABCD⊆E^3(3次元空間）とし、点T∈E^3をとる。Tの「四線座標」を(α，β，γ，δ）とする。 Tの「重心座標」を(κ，λ，μ，ν）、κ＋λ＋μ＋ν＝１とする。 κ≠1 かつλ≠1 かつ μ≠1 かつν≠1 ・・・(2.2.2)のときは (S_A)α＋(S_B)β＋(S_C)γ＋(S_D)δ＝3V ・・・(2.2.3) が成立する。
「証明」 (2)について： まず(1)が成り立つとして(2)を証明する。
α＝(3V/S_A)κ，β＝(3V/S_B)λ，γ＝(3V/S_C)μ，δ＝(3V/S_A)ν より、 (S_A)α＝(3V)κ，(S_B)β＝（3V)λ，(S_C)γ＝(3V)μ，(S_D)δ＝(3V)ν ・・・(2.2.4) ゆえに (S_A)α＋(S_B)β＋(S_C)γ＋(S_D)δ＝(3V)(κ＋λ＋μ＋ν)＝(3V)×1＝3V
よって(2.2.3)が成り立つ。
(1)について：
それでは(1)を証明しよう。
点Tの「四面体ABCD」に関する「重心座標」(κ，λ，μ，ν）、κ＋λ＋μ＋ν＝１について 「 κ≠1 ⇒ α＝(3V/S_A)κ」を証明する。 κ≠1であるから T≠A となり(∵[命題1.4]）直線ATは「△BCDの造る平面」と1点T_Aで交わり、
[命題1.2]から (→T(T_A))＝κ(→A(T_A)) となる。H_Aは頂点Aから下した垂線の足だった。 （ア）０＜κ＜1 のとき、直線AT上に3点 A,T，T_Aがこの順に並び、また線分A(H_A)が頂点Aからの 「垂線」として存在する。点Tから「△BCDの造る平面」に「垂線」を引きその足をT^Aとおく。 T(T^A)＝α＞0 である。T_A≠H_Aとしよう。△A(T_A)(H_A)∽△T(T_A)(T^A)となるから ⇒ A(T_A)：T(T_A)＝ A(H_A)：T(T^A) ・・・(2.2.5)となる。 (→T(T_A))＝κ(→A(T_A))から A(T_A):T(T_A)＝１：κ， T(T^A)＝α，(2.1.4)から A(H_A)＝h_A＝(3V)/S_A だから (2.2.5) は 1：κ＝h_A：α
⇒ α＝(h_A)κ＝(3V/S_A)κ ゆえに (2.2.1)の第１式が成立。
これで α＝(3V/S_A)κ が証明された。T_A＝H_A のときは(→T(T_A))＝κ(→A(T_A))は (→T(H_A))＝κ(→A(H_A)) ・・・(2.2.6)となり α＝T(H_A) ，A(H_A)＝h_A だから (2.2.6)から α＝κ(h_A)＝(3V/S_A)κ となり、(2.2.1)の第１式が成立。 （イ）κ＝0 のとき (→T(T_A))＝κ(→A(T_A))＝(→0)からT＝T_A∈「△BCDの造る平面」 ゆえにα＝0 よって α＝(3V/S_A)κは両辺とも「0」となり成立する。 （ウ）κ< 0のとき、四面体ABCDの面△BCDを底面、頂点Aを上方にもってきたとき、点Tは底面の△BCD よりも下方にある。直線AT上には頂点A、交点T_A、点Tの順に上方から並んでいる。 α＝T(T^A)＜0である。T_A≠H_Aとしよう。△T(T^A)(T_A)∽△A(H_A)(T_A) である。 よって A(T_A)：T(T_A)＝A(H_A)：T(T^A) すなわち 1：(−κ）＝h_A：(−α) ⇒ α＝(h_A)κ＝(3V/S_A)κ つまり α＝(3V/S_A)κ T_A＝H_A のときは (→T(T_A))＝κ(→A(T_A))は (→T(H_A))＝κ(→A(H_A)) ・・・(2.2.7) となる。α＝T(H_A)，A(H_A)＝h_A から （−α）＝(−κ)(h_A) これから (ア)と同様に式がでる。 (エ) κ＞１のとき (→T(T_A))＝κ(→A(T_A))から点Tは「四面体ABCD」の上方にあり、
直線AT上に上方から点T、頂点A，交点T_Aの順に並んでいる。T_A≠H_Aとしよう。
△(T_A)A(H_A)∽△(T_A)T(T^A) ⇒ A(T_A)：T(T_A)＝A(H_A)：T(T^A) すなわち 1：κ＝h_A：α よって α＝κ(h_A)＝(3V/S_A)κ となる。T_A=H_Aのときも 式がでる。
以上により、「κ≠1 ⇒ α＝(3V/S_A)κ」が証明された。
(2.2.1)の他の式も同様である。 こうして、[命題2.2]の(1)が「証明」された。 （[命題2.2]の「証明」終わり） [命題2.3] [命題2.2]の、κ，λ，μ，νの取る値の制約を外すことができる。すなわち (1) 四面体ABCD⊆E^3(3次元空間）とし、点T∈E^3をとる。Tの「重心座標」を (κ，λ，μ，ν）かつ κ＋λ＋μ＋ν＝１，「四線座標」を(α，β，γ，δ）とする。このとき α＝(3V/S_A)κ，β＝(3V/S_B)λ，γ＝(3V/S_C)μ，δ＝(3V/S_A)ν ・・・(2.3.1) が成立する。
(2) 四面体ABCD⊆E^3(3次元空間）とし、点T∈E^3をとる。Tの「四線座標」を(α，β，γ，δ）とする。 このとき (S_A)α＋(S_B)β＋(S_C)γ＋(S_D)δ＝3V ・・・(2.3.2) が成立する。 「証明」 (1) で κ≠1 かつλ≠1 かつ μ≠1 かつ ν≠1 の場合は [命題2.2]から(1)(2)は成り立つ。 そこで(1)では、 「κ＝1 または λ＝1 または μ＝1 または ν＝1」・・・(2.3.3)のときに「証明」をすればよい。 (1)について： κ＝1 または λ＝1 または μ＝1 または ν＝1 ・・・(2.3.4)とする。 点T∈E^3をとる。Tの「重心座標」を (κ，λ，μ，ν）かつ κ＋λ＋μ＋ν＝１， 「四線座標」を(α，β，γ，δ）とする。 そして κ＝１とする。 (ア) T＝A のときは、頂点A」の「重心座標」は (κ，λ，μ，ν）＝(1，0，0，0)で(2.1.4)から α＝T(T^A)＝h_A＝(3V/S_A)、 κ＝１だから α＝(3V/S_A)κ がやはり成立する。 (イ) κ＝１でT≠A とすると [命題1.4]から (→AT)//「△BCDの造る平面」であり、 よって、またα＝T(T^A)＝h_A＝(3V/S_A)，κ＝１だから α＝(3V/S_A)κ が成立する。
(ウ) κ＝1のとき、λ＋μ＋ν＝0 で 「ベクトルによる重心座標表現」は 任意の点 P∈E^n（ただしn≧3）にたいし (→PT)＝(→PA)＋λ(→PB)＋μ（→PC)＋ν(→PD) ・・・(2.3.5) となる。ここで もし λ≠1ならば[命題3.2]から β＝(3V/S_A)λ が成立する。 そこで、さらにλ＝１とすれば、Tの重心座標は(1,1,μ,ν） ，1＋μ＋ν＝０ となる。 よって T≠Bである。 λ＝１だから[命題1.4]と同様にして (→BT)//「△ACDの造る平面」となる。ゆえに β＝T(T^B)＝h_B＝(3V/S_B)となる。λ＝１なので β＝(3V/S_B)λが成立する。次にμ≠１ならばT≠Cで [命題2.2]からγ＝(3V/S_C)μが成立する。 そこで （エ）κ＝1 かつ λ＝1かつ μ＝１としよう。するとκ＋λ＋μ＋ν＝１からν＝−2 となる。 μ＝1だから (→CT)//「△ABDの造る平面」となる。 よって γ＝T(T^C)＝h_C＝(3V/S_C) そしてμ＝1 なのでγ＝(3V/S_C)μ が成立する。 そして ν＝−２なのでν≠1であり、(→DT)//「△ABDの造る平面」とはならない。 ゆえに δ＝(3V/S_D)ν が成立する。 以上により κ＝1 かつ λ＝1かつ μ＝１かつν＝−2のときも α＝(3V/S_A)κ，β＝(3V/S_B)λ，γ＝(3V/S_C)μ，δ＝(3V/S_D)ν ・・・(2.3.1)が成立する。
(オ) この κ＝λ＝μ＝１かつ ν＝−2のときを図形的に考えてみよう。点Tは「四面体ABCD」に関して どこにくるのか調べてみる。κ＝λ＝μ＝１かつ ν＝−2より 点Tの「ベクトルによる重心座標表現」は (→PT)＝(→PA)＋(→PB)＋(→PC)−2(→PD) ・・・(2.3.6)だから 特に P⇒D とおくと (→DT)＝(→DA)＋(→DB)＋(→DC) ・・・(2.3.7) そこで△ABCの重心をG_D とおくと G_D の「四面体ABCD」に関する「ベクトルによる重心座標表現」は (→PG_D)＝1/3(→PA)＋1/3(→PB)＋1/3(→PC)＋0×(→PD）・・・(2.3.8) 。G_Dの「四面体ABCD」 に関する「重心座標」は(1/3，1/3，1/3，0) 、△ABCに関する「重心座標」は(1/3，1/3，1/3）で あって(2.3.8)で特にP＝D とおいて (→DG_D)＝1/3[(→DA)＋(→DB)＋(→DC)] ・・・(2.3.9) これと(2.3.7)から (→DT)＝3(→DG_D) ・・・(2.3.10）となる。ゆえに(→DT)はDから対面の
△ABCに向かってその重心G_Dを通り、DG_Dの長さを3倍にしたもので、Tは四面体ABCDの外部の所にある。
つまり D(G_D)：(G_D)Ｔ＝1：2 ・・・(2.3.11)となる。T_D＝G_Dであり、 T(T^D)＝δはδ＜０である。 すなわち (→DT)は「△ABCの造る平面」とは平行にはならず、 T(T^D)：D(H_D)＝T(G_D)：D(G_D)＝(−２):1 ⇒ δ：h_D＝(−2)：１
⇔ δ＝(h_D)×(−2) ・・・(2.3.12)
h_D＝3V/S_D ，ν＝−2だから (2.3.12)は δ＝(3V/S_D)ν となる。 このようにして、κ＝１から始めてλ，μ，νとやっていって、 α＝(3V/S_A)κ，β＝(3V/S_B)λ，γ＝(3V/S_C)μ，δ＝(3V/S_D)ν ・・・(2.3.1) が成立する。 よって他の場合も(2.3.1)は成立する。ゆえに(2)も成立する。 （[命題2.3]の「証明」終わり） [命題2.4] (1)四面体ABCD⊆E^3(3次元空間）とし、点T∈E^3の「重心座標」 (κ，λ，μ，ν），κ＋λ＋μ＋ν＝1 と「四線座標」(α，β，γ，δ）の間には[命題2.3］の(1)の(2.3.1)の 関係が成立し、1対1の対応がある。「四線座標」では、点が異なれば「四線座標」も異なり、逆も成り立つ。
3. 「四面体ABCD」の「内心Iと「傍心E_B」などの「ベクトルによる重心座標表現」及び その「半径r」，「半径r_B」を求める
(1)「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」を求めてみよう。
「内心I]では、2次元の内接球面の半径をr＞０とし、
任意の点P∈E^nにたいし、その「ベクトルによる重心座標表現」を (→PI)＝κ(→PA)＋λ(→PB)＋μ(→PC)＋ν(→PD) ・・・(3.1.1) かつ κ＋λ＋μ＋ν＝1・・・(3.1.2) とおく。
また「四線座標」を(α，β，γ，δ）とする。 「内心I」から「△BCDの造る平面」、「△ACDの造る平面」、「△ABDの造る平面」、 「△ABCの造る平面」へ降ろした「垂線」の足を順にI^A，I^B，I^C，I^Dとすれば 求める条件は
r＝I(I^A)＝I(I^B)＝I(I^C)＝I(I^D) ・・・(3.1.3）
このI(I^A)＝α>0，I(I^B)＝β>0，I(I^C)＝γ>0，I(I^D)＝δ>0 だから(3.1.3)は r＝α＝β＝γ＝δ ・・・(3.1.4) ここで[命題2.3]の(1)から α＝(3V/S_A)κ，β＝(3V/S_B)λ，γ＝(3V/S_C)μ，δ＝(3V/S_D)ν だから(3.1.4)は r＝(3V/S_A)κ＝(3V/S_B)λ＝(3V/S_C)μ＝(3V/S_D)ν ・・・(3.1.5) となり、 これをκ＋λ＋μ＋ν＝1・・・(3.1.2) かつ κ>0，λ>0，μ>0，ν>0 ・・・(3.1.6)のもと、 5つの方程式で、5つの未知数κ，λ，μ，νとrを 解けばよい。 (3.1.5)に対していわゆる「加比の理」を用いれば、
r＝(3Vκ/S_A)＝(3Vλ/S_B)＝(3Vμ/S_C)＝(3Vν/S_D) ＝(3Vκ＋3Vλ＋3Vμ＋3Vν)/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D) ＝(3V)(κ＋λ＋μ＋ν)/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D) ＝(3V)/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D) よって r＝(3V)/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)・・・(3.1.7) κ＝S_A/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)、λ＝S_B/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)， μ＝S_C/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)，ν＝S_D/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)・・・(3.1.8) と解けた。 これらは(3.1.6)をみたす。 これらを(3.1.2)に代入して、次の「定理3.2]が得られた。 「定理3.2] 「四面体ABCD」の2次元の「内接球面」の半径をr（ r＞0）とし「内心」をIとしたとき、 「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」は 任意の点P∈E^n(ただし n≧3) にたいして (→PI)＝[1/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)]×[(S_A)(→PA)＋(S_B)(→PB)＋(S_A)(→PC)＋(S_D)(→PD)] ・・・(3.2.1) その半径rは r＝(3V)/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)・・・(3.2.2) detJ(3)＝(6V)^2 だから (3.2.2)は r＝√[detJ(3)]/2(S_A＋S_B＋S_C＋S_D) ・・・(3.2.3）とも表現される。 (2) 次に「角B内で△ACDで『傍接する』傍接球面」の「中心」を「E_B」で表わすことにする。 「傍心E_B」の「ベクトルによる重心座標表現」が求まったとし、その半径をr_B >0 とする。 「角B内で△ACDで『傍接する』傍接球面」が存在する条件は、 「傍心E_B」は四面体ABCDの外部にあり、面△ACDに関して,頂点Bと反対側にある。 「傍心E_B」から、面△BAC、，面△BAD，面△BCD，及び頂点Bの「対面△ACD」に下した「垂線」の 足をそれぞれ、Ｋ，Ｌ，Ｍ,Ｎとすれば、求める条件は、 r_B＝(E_B)Ｋ＝(E_B)Ｌ＝(E_B)Ｍ＝(E_B)Ｎ ・・・(3.2.4） ここで[命題2.3]の(1)から (E_B)Ｋ＝α＝(3V/S_A)κ，β＝(3V/S_B)λ，(E_B)Ｍ＝γ＝(3V/S_C)μ，(E_B)Ｎ＝δ＝(3V/S_D)ν ただし、α＞0，γ>0，δ<0，そしてβ＜０ (「傍心E_B」は四面体ABCDの外部にあり、面△ACDに関して,頂点Bと反対側にあり、四線座標の符号の決め方から ） だから (E_B)Ｌ＝−β＝−(3V/S_B)λ κ>0，λ<0，μ>0，ν>０， r_B＝(3V/S_A)κ＝(3V/S_C)μ＝(3V/S_D)ν， かつ r_B＝−(3V/S_A)λ (∵λ<0) ，つまり
r_B＝(3V/S_A)κ＝−(3V/S_B)λ＝(3V/S_C)μ＝(3V/S_D)ν・・(3.2.5) となる。
この κ,λ，μ，ν及びr_Bを、λだけ「マイナス」他の κ，μ，νは「プラス」かつ κ＋λ＋μ＋ν＝１ のもとに解けばよい。 (3.2.5) を
r_B＝(3Vκ)/(S_A)＝(3Vλ)/(−S_A)＝(3Vμ)/(S_C)＝(3Vν)/(S_D)・・・（3.2.6）と 変形して 、「加比の理」を使えば、
r_B＝(3Vκ)/(S_A)＝(3Vλ)/(−S_B)＝(3Vμ)/(S_C)＝(3Vν)/(S_D) ＝(3Vκ＋3Vλ＋3Vμ＋3Vν)/(S_A−S_B＋S_C＋S_D) ＝3V(κ＋λ＋μ＋ν)/(S_A−S_B＋S_C＋S_D) ＝(3V)/(S_A−S_B＋S_C＋S_D) （ ∵ κ＋λ＋μ＋ν＝１） よって κ＝(S_A)/(S_A−S_B＋S_C＋S_D)，λ＝(−S_B)/(S_A−S_B＋S_C＋S_D)， μ＝(S_C)/(S_A−S_B＋S_C＋S_D)，ν＝(S_D)/(S_A−S_B＋S_C＋S_D) ・・・（3.2.7）
r_B＝(3V)/(S_A−S_B＋S_C＋S_D) ・・・（3.2.8） と求まる。 よって 「定理3.3] 「角B内で△ACDで『傍接する』傍接球面」の「傍心E_B」の「ベクトルによる重心座標表現」は 任意の点P∈E^n(ただし n≧3)に対して、
(→PE_B)＝[1/(S_A−S_B＋S_C＋S_D)]×[(S_A)(→PA)−(S_B)(→PB)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)]・・・（3.3.1)
また[傍接球面E_B]の半径r_Bは r_B＝(3V)/(S_A−S_B＋S_C＋S_D)＝√[detJ(3)]/2(S_A−S_B＋S_C＋S_D)・・・（3.3.2) となる。
[注意]：ここで、「四面体ABCD」において 『 3つの側面の三角形の面積の和 ＞ 他の1つの面積 』・・・(#) という 「事実」を用いている。 それにより、 ◎ S_A＋S_C＋S_D ＞ S_B ⇔ S_A−S_B＋S_C＋S_D ＞0 となり、（3.2.7）,（3.2.8）の分母 ＞0 となっている。 (#)は、直感的には「四面体ABCDを頂点Bを上方にとり、それを底面の△ACDの造る平面に射影すれば 分かる気がするが・・・
「定理3.4] 「四面体ABCD」の頂点A，B,C，Dから対面の△BCD，△ACD，△ABD，△ABCに下した「垂線」の足を それぞれ、H_A，H_B，H_C，H_D とし、h_A＝A(H_A)，h_B＝B(H_B)，h_C＝C(H_C)，h_D＝D(H_D) ，すなわち各頂点からのこの「四面体ABCDの高さ」をそれぞれ、h_A ,h_B ，h_C ，h_Dとし、 2次元の「内接球面」の半径をrとすれば、三角形の場合(2009.1月頃のブログで示した）と同様に 「公式」 (1/h_A)＋(1/h_B)＋(1/h_C)＋(1/h_D)＝1/r ・・・(3.4.1)が成り立つ。 「証明」 体積の公式 V＝(1/3)(S_A)(h_A)＝(1/3)(S_B)(h_B)＝(1/3)(S_C)(h_C)＝(1/3)(S_D)(h_D)から h_A＝(3V)/S_A ，h_B＝(3V)/S_B，h_C＝(3V)/S_C ，h_D＝(3V)/S_D ・・・(2.1.4)だった。 よって (1/h_A)＋(1/h_B)＋(1/h_C)＋(1/h_D)＝S_A/(3V)＋S_B/(3V)＋S_C/(3V)＋S_D/(3V) ＝(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)/(3V) ところが[定理3.2]のr＝(3V)/(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)・・・(3.2.2) から 1/r＝(S_A＋S_B＋S_C＋S_D)/(3V) ゆえに (1/h_A)＋(1/h_B)＋(1/h_C)＋(1/h_D)＝1/r が成り立つ。 ([定理3.4]の「証明」終わり ）
