一葉双曲面のGauss曲率及び、平均曲率について - 春がきて、朝がきた。楽しい一日が始まる

一葉双曲面のGauss曲率及び、平均曲率について_2018_01_08(月)

「Yahoo　知恵袋」での「guanguansugaro」
さんの色々沢山の幾何の質問に答えようとしていたが、期限が
2018_01_08(月)に切れてしまい、質問が削除された。良い問題が散りばめられていた。折角なので、
ここに書いておく。

1　一葉双曲面 x^2/a^2＋y^2/b^2－z^2/c^2=1 ・・・(1)を曲面Sとする。そのパラメーター表示を
　u,vを用いて (x↑)=x(u,v)=(x,y,z)=(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu) ・・・(2) にて表す。
ここに coshx=[e^x+e^(-x)]/2,sinhx=[e^x-e^(-x)]/2　はxの双曲線関数(hyperbolic_
functions of x)とする。
　このとき、cosh^2x－sinh^2x=1,(coshx)'=sinhx,(sinhx)'=coshx・・・(3)が成り立つ。それで
(2)は(1)を満たすことが分かる。ベクトルの内積を「・」、外積を「×」で表すことにする。

一般論を述べる。第一基本形式　I(いち）は、dx=x_udu+x_vdv を用いて、I=ds^2＝dx・dx
=(x_udu+x_vdv)・(x_udu+x_vdv)=(x_u・x_u)du^2+2(x_u・x_v)dudv+(x_v・x_v)dv^2・・・(4)
と定義される。そこで、g_11=E=x_u・x_u ,g_12=F=x_u・x_v,g_21=x_v・x_u ,

g_22= G=x_v・x_v・・・(5)　とおく。このとき、x_u・x_v=x_v・x_u ⇔g_12=g_21=F　となる。また、

第一基本形式は、I=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2=g_11du^2+2g_12dudv＋g_22dv^2 ・・・(6)とも表せる。
但し、x_u=∂x/∂u,x_v=∂x/∂v,ベクトルxのu,vによる偏微分である。また、曲面Sの1つの
単位法線ベクトルをeで表す。e=(x_u×x_v)/|x_u×x_v|　・・・(7)とする。ここに「×」は「外積」
を表す。第二基本形式Ⅱ(に)は, L=H_11=x_uu・e,M=H_12=x_uv・e,H_21=x_vu・e ,
N=H_22=x_vv・e として、H_12=H_21となるので、
Ⅱ(u,v)=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2=H_11du^2+2H_12dudv+H_22dv^2 ・・・(8)と定義される。このとき、
第一基本形式は正定値なので、EG-F^2=g_11g_22-(g_12)^2＞0 ・・・(9)がいつも成り立っている。
Gauss曲率 Kは、K=(LN-M^2)/(EG-F^2)=[H_11H_22-(H_12)^2]/[g_11g_22-(g_12)^2]・・・(10)
で与えられ、平均曲率 Hは、H=[EN－2FM+GL)/[2(EG-F^2)]
＝[g_11H_22－2g_12H_12+g_22H_11]/[2{(g_11g_22-(g_12)^2)}] ・・・(11)となる。

一般論はここまでとする。

さて、1番の回答に移る。一葉双曲面のGauss曲率及び、平均曲率を求める問題。(2),(3)から、
x_u=∂x/∂u=(asinhucosv,bsinhusinv,ccoshu),x_v=(-acoshusinv,bcoshucosv,0),もう一回
偏微分し、
x_uu=∂(x_u)/∂u=(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu)=(x,y,z)・・・(12)，
x_uv=∂(x_u)/∂v=(-asinhusinv,bsinhucosv,0)・・・(13),x_vv=∂(x_v)/∂v
=(-acoshucosv,-bcoshusinv,0)・・・(14)となる。ゆえに、
E=x_u・x_u=a^2sinh^2ucos^2v+b^2sinh^2usin^2v+c^2cosh^2u・・・(15),
F=x_u・x_v=-a^2sinhucoshusinvcosv+b^2sinhucoshusinvcosv=(b^2-a^2)sinhucoshusinvcosv

• • • (16),

G=x_v・x_v=a^2cosh^2usin^2v+b^2cosh^2ucos^2v=cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v)・・・(17)
よって　
EG-F^2
=(a^2sinh^2ucos^2v+b^2sinh^2usin^2v+c^2cosh^2u)×
　　　　　　　 cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v)-[(b^2-a^2)sinhucoshusinvcosv]^2
=cosh^2u[(a^2sinh^2ucos^2v+b^2sinh^2usin^2v)(a^2sin^2v+b^2cos^2v)

1. (c^2cosh^2u)(a^2sin^2v+b^2cos^2v)-sinh^2u(b^4-2a^2b^2+a^4_)cosh^2usin^2vcos^2v]

=cosh^2u[sinh^2u{a^2b^2(sin^4v+2sin^2vcos^2v+cos^4v}

 +(c^2cosh^2u_)(a^2sin^2v+b^2cos^2v)] ここで [ ]は2行に亘るとする。

=cosh^2u[sinh^2u{a^2b^2(sin^2v+cos^2v)^2}+b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v]
=cosh^2u[sinh^2u{a^2b^2}+b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v]
=[b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v+a^2b^2sinh^2u]cosh^2u・・・(18)
そこで、
Δ＝√[b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v+a^2b^2sinh^2u]・・・(19) とおけば、
(18)は、EG-F^2=(Δ^2)cosh^2u・・・(20)となる。
次に、
x_u×x_vを計算しよう。大学1・2年で物理の「荒川泰二」先生に習った「行列式的方法」にて
「外積」を計算する。
i,j,kを(x,y,z)空間の基本ベクトルとして、
x_u=(asinhucosv,bsinhusinv,ccoshu),
x_v=(-acoshusinv,bcoshucosv,0)　　　　　であるから、これらを3行3列の行列式として、
第１行に　i,j,kを並べ、第2行に x_u，第3行にx_vを並べて

x_u×x_v
=

i　　　　　　　　 　　 j　　　　 　　　 k

asinhucosv　　　　bsinhusinv　　　ccoshu

-acoshusinv　　　 bcoshucosv　　　　 0

とし、これを第１行に関し展開する方法である。

すると、
x_u×x_v
= i[-bcoshucosv(ccoshu)]+j[-acoshusinv(ccoshu)]

+k[asinhucosv(bcoshucosv)+acoshusinv(bsinhusinv)]

=(-bccosh^2ucosv)i+(-cacosh^2usinv)j+[absinhucoshu(cos^2v+sin^2v)]k
=(-bccosh^2ucosv)i+(-cacosh^2usinv)+[absinhucoshu]k
=(-bccosh^2ucosv,-cacosh^2usinv,absinhucoshu)　つまり
x_u×x_v=(-bccosh^2ucosv,-cacosh^2usinv,absinhucoshu)・・・(21)　とやるのである。
ゆえに
|x_u×x_v|^2=coshu^2[b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v+a^2b^2sinh^2u]

           =(Δ^2)cosh^2u・・・(22)

⇔|x_u×x_v|=Δcoshu ・・・(23)　ここで次の[補題1]を準備する。
[補題1]
Δ=abc・[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) ・・・(1.1)

「証明」(2)から、

x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4

  =a^2cosh^2ucos^2v/a^4+b^2cosh^2usin^2v/b^4+c^2sinh^2u/c^4
  =cosh^2ucos^2v/a^2+cosh^2usin^2v/b^2+sinh^2u/c^2
  =[1/(abc)^2][b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v+a^2b^2sinh^2u]
  =[1/(abc)^2]・Δ^2   [∵　(19)による]

⇔ Δ=abc・[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)　よって証明された。
（証明終わり）
次に、
[命題2]

e=－(x/a^2,y/b^2,－z/c^2)/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・・・(2.1)

と表すことができる。
「証明」
e=(x_u×x_v)/|x_u×x_v|　・・・(7)と(21)(23) により、
e=(-bccosh^2ucosv,-cacosh^2usinv,absinhucoshu)/[Δcoshu]

=(-bccoshucosv,-cacoshusinv,absinhu)/Δ
=－(abc)(acoshucosv/a^2,bcoshusinv/b^2,－csinhu/c^2)/Δ・・・(2.2)　ここで、

(2) より (x↑)=x(u,v)=(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu)　だから

(acoshucosv/a^2,bcoshusinv/b^2,－csinhu/c^2)=(x/a^2,y/b^2,－z/c^2)・・・(2.3)を

(2.2)に代入して、
e=－(abc)(x/a^2,y/b^2,－z/c^2)/Δ

=－[(abc)/Δ](x/a^2,y/b^2,－z/c^2)・・・(2.4)　ところで[補題1]の

(1.1)式から、

(abc)/Δ=1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・・・(2.5) ゆえに(2.4)は

e=－1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・(x/a^2,y/b^2,－z/c^2)

=－(x/a^2,y/b^2,－z/c^2)/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) ・・・(2.6)となり証明された。

（証明終わり）

さて、L,M,Nを求めよう。L=H_11=x_uu・e,M=H_12=x_uv・e,N=H_22=x_vv・e であるので、
[命題2]と(12)から
L=x_uu・e=(x,y,z)・e

=－(x,y,z)・(x/a^2,y/b^2,－z/c^2)/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)　
=－(x^2/a^2+y^2/b^2－z^2/c^2)/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=－1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)　・・・(23)
[∵ 曲面Sの方程式は(1) から  x^2/a^2+y^2/b^2－z^2/c^2=1　]

即ち L=－1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・・・(24)
次に(13)の
x_uv=(-asinhusinv,bsinhucosv,0) と[命題2]と(2)の
x(u,v)=(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu) により、
[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・M=[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)x_uv・e
=－(x/a^2,y/b^2,－z/c^2)・(-asinhusinv,bsinhucosv,0)
=(x/a)sinhusinv-(y/b)sinhucosv=coshucosv(sinhusinv)－coshusinv(sinhucosv)
=coshusinhusinvcosv－coshusinhusinvcosv=0 よって[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・M=0
⇔ M=0 ・・・(25)
最後に Nを求める。(14)と(1)(2)[命題2]から
N=x_vv・e=(-acoshucosv,-bcoshusinv,0)・e

=(-acoshucosv,-bcoshusinv,0)・[－(x/a^2,y/b^2,－z/c^2)]
 /[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=(-x,-y,0)・[－(x/a^2,y/b^2,－z/c^2)]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=[x^2/a^2+y^2/b^2]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=[(x^2/a^2+y^2/b^2－z^2/c^2)+z^2/c^2]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=[1+z^2/c^2]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=[1+c^2sinh^2u/c^2]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=[1+sinh^2u]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)　[∵ cosh^2u－sinh^2u=1 ]

つまり、N=cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・・・(26)

☆それでは、Gauss曲率K 及び平均曲率 Hを求めよう。
(24)(25)(26)により、
LN-M^2=LN-0^2=LN
=－1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=－cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4] ・・・(27)
ゆえに、(10)とEG-F^2=(Δ^2)cosh^2u・・・(20)から、
K=(LN-M^2)/(EG-F^2)=－cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4] ÷[(Δ^2)cosh^2u]

=－1/[(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)(Δ^2)]・・・(28)ここで[補題1]から、

Δ=abc・[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)　ゆえに、
K=－1/[(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)・(abc)^2・(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)]

=－1/[(abc)^2{x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4}^2]
=－1/[(a^2b^2c^2)(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)^2]・・・(29)　即ち

Gauss曲率Kは

K=－1/[(a^2b^2c^2)(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)^2]・・・(30)

　つまりパラメーターu,vに無関係に、一葉双曲面の任意の(x,y,z)に対し、

Gauss曲率は、 (30)で与えられ、K　＜ 0 ・・・(31)であることも分かった。

また、(x,y,z)の値により変化することも分かった。次に
Sophie Germain(ソフィー・ジェルマン)の平均曲率 Hを求める。M=0と(24)(26)により、

H=[EN－2FM+GL)/[2(EG-F^2)]=[(EN+GL)/[2(EG-F^2)]　・・・(32)であった。
ここで、E=a^2sinh^2ucos^2v+b^2sinh^2usin^2v+c^2cosh^2u・・・(15)と
N=cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・・・(26)とにより,
EN=cosh^2u[a^2sinh^2ucos^2v+b^2sinh^2usin^2v+c^2cosh^2u]
　 ×1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)

 =cosh^2u[sinh^2u(a^2cos^2v+b^2sin^2v)+c^2(1+sinh^2u)}

　 ×1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)　{∵　cosh^2u-sinh^2u=1 ]
　=cosh^2u[(cosh^2u－1)(a^2cos^2v+b^2sin^2v)+c^2sinh^2u+c^2]
　 ×1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)

 =cosh^2u[a^2cosh^2ucos^2v+b^2cosh^2usin^2v+c^2sinh^2u-(a^2cos^2v+b^2sin^2v)+c^2]

　 ×1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・・・(33)　
　　[ ∵　sinh^2u=cosh^2u－1 ]
また、(17)のG=cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v_)と(24)の

L=－1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)とから、

から
GL=cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v)×[－1/(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)^(1/2)]

 =－cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v)/[(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)^(1/2)]
  ・・・(34)

ゆえに、
EN+GL=cosh^2u[a^2cosh^2ucos^2v+b^2cosh^2usin^2v+c^2sinh^2u-(a^2cos^2v+b^2sin^2v)+c^2]
　 /[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
　　 -cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v)/[(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)^(1/2)]

  　=cosh^2u[(x^2+y^2+z^2)-(a^2cos^2v+b^2sin^2v)－(a^2sin^2v+b^2cos^2v)+c^2]

　　　/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
　　 =cosh^2u[(x^2+y^2+z^2)-a^2(cos^2v+sin^2v_)-b^2(sin^2v+cos^2v)+c^2]
　　　/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
　　 =cosh^2u[(x^2+y^2+z^2)-(a^2+b^2-c^2)]
　　　/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)　・・・(35)

　[ここで、(1)の x=acoshucosv, y=bcoshusin^2v,z=csinhu　を用いた。]
したがって、(32)の平均曲率は (35)÷[2×_(20)]として
　H=[EN－2FM+GL)/[2(EG-F^2)]=[(EN+GL)/[2(EG-F^2)]
　　　　　 =cosh^2u[(x^2+y^2+z^2)-(a^2+b^2-c^2)]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
　　　　　÷[2(Δ^2)cosh^2u]・・・(20)
　　　　　 =[(x^2+y^2+z^2)-(a^2+b^2-c^2)]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
　　　　　×1/[2(Δ^2)]　・・・(36)　ところが[補題1]により、
　 Δ^2=(abc)^2×[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4] よって (36)から

 H=[(x^2+y^2+z^2)－(a^2+b^2-c^2)]/[2a^b^2c^2(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)^(3/2)]

　　　・・・(37)
　と求まった。

一葉双曲面の任意の(x,y,z)に対し、平均曲率は (37)で与えられパラメーターに関係ない。

なお、上記の内容は、小林　昭七著「曲線と曲面の微分幾何」のP62の例3.3を敷衍(ふえん）
して書いただけである。今はこのような古典的な内容は大学ではやらない事が多い。
大学1年生か2年生の内容である。私のときもやらなかった。
いきなり3年生で多様体論を学習した。研究者を目指す読者は早いうちに、、
「多様体論」を学習するべきであると思う。「多様体論」の本としては、
松島与三「多様体入門(新装版)」と村上　信吾「多様体第2版」,松本 幸夫「多様体の基礎」
,今は、東京大学出版会の
「坪井　俊」の「多様体入門」から始まる幾何学の三部作「幾何学<1>_多様体入門」,
「幾何学<2>_ホモロジー入門」,「幾何学<3>_微分形式」がある。坪井の本は行間が狭く、

1頁に文字がびっしりと記されており、内容が盛りだくさんで、なかなか読みにくい気が

　私にはする。

★　次回は、二葉双曲面P62～P63の例3.4について(古典的な微分幾何)などか、
「四面体及び三角形の内心Iと、内接球面と接点I^A,I^B,I^C,(I^D)との間のベクトル等式」について
　記す予定である。

}