一葉双曲面のGauss曲率及び、平均曲率についてTeX_like - 春がきて、朝がきた。楽しい一日が始まる

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一葉双曲面のGauss曲率及び、平均曲率について_2018_01_08(月)

「Yahoo　知恵袋」での「guanguansugaro」さんの幾何の質問に答えようとしていたが、期限が 2018_01_08(月)に切れてしまい、質問が削除された。難しいが良い問題が多かっただけに、削除され残念だ。折角なので、ここに書いておく。

1　一葉双曲面 $x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1$ ・・・(1)を曲面Sとする。そのパラメーター表示を　u,vを用いて (x↑)=x(u,v)=(x,y,z)=(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu) ・・・(2) にて表す。ここに $coshx=\fra{e^x+e^{-x}}{2},sinhx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ はxの双曲線関数(hyperbolic_ functions of x)とする。　このとき、 $cosh^2x-sinh^2x=1$ , $(coshx)'=sinhx$ , $(sinhx)'=coshx$ ・・・(3)が成り立つ。それで (2)は(1)を満たすことが分かる。ベクトルの内積を「・」、外積を「×」で表すことにする。

一般論を述べる。第一基本形式　I(いち）は、 $dx=x_udu+x_vdv$ を用いて、I= $ds^2$ ＝ $dx$ ・ $dx$ =( $x_udu$ + $x_vdv$ )・( $x_udu$ + $x_vdv$ )= $x_u$ ・ $x_udu^2$ $+2$ $x_u$ ・ $x_vdudv+x_v$ ・ $x_vdv^2$ ・・・(4) と定義される。そこで、 $g_{11}=E=x_u$ ・ $x_u$ , $g_{12}$ = $F$ = $x_u$ ・ $x_v$ , $g_{21}$ = $x_v$ ・ $x_u$ ,

・・・・(5)　とおく。このとき、・=・⇔　となる。また、

第一基本形式は、I= $Edu^2+2Fdudv+Gdv^2=g_{11}du^2+2g_{12}dudv+g_{22}dv^2$ ・・・(6)とも表せる。但し、x_u=∂x/∂u,x_v=∂x/∂v,ベクトルxのu,vによる偏微分である。また、曲面Sの1つの単位法線ベクトルをeで表す。e=( $x_u$ × $x_v$ )/| $x_u$ × $x_v$ |　・・・(7)とする。ここに「×」は「外積」を表す。第二基本形式Ⅱ(に)は, $L=H_{11}$ = $x_{uu}$ ・ $e$ ， $M=H_{12}$ = $x_{uv}$ ・ $e$ ， $N=H_{22}$ = $x_{vv}$ ・ $e$ として、 $H_{12}=H_{21}$ となるので、 Ⅱ $(u,v)=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2=H_{11}du^2+2H_{12}dudv+H_{22}dv^2$ ・・・(8)と定義される。このとき、第一基本形式は正定値なので、 $EG-F^2=g_{11}g_{22}-(g_{12})^2$ ＞0 ・・・(9)がいつも成り立っている。 Gauss曲率 Kは、 $K=(LN-M^2)/(EG-F^2)=[H_{11}H_{22}-(H_{12})^2]/[g_{11}g_{22}-(g_{12})^2]$ ・・・(10) で与えられ、平均曲率 Hは、 $H=[EN-2FM+GL)/[2(EG-F^2)]$ ＝ $[g_{11}H_{22}-2g_{12}H_{12}+g_{22}H_{11}]$ /[2 ${(g_{11}g_{22}-(g_{12})^2)}$ ] ・・・(11)となる。

一般論はここまでとする。

さて、1番の回答に移る。一葉双曲面のGauss曲率及び、平均曲率を求める問題。(2),(3)から、 x_u=∂x/∂u=(asinhucosv,bsinhusinv,ccoshu),x_v=(-acoshusinv,bcoshucosv,0),もう一回偏微分し、 x_uu=∂(x_u)/∂u=(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu)=(x,y,z)・・・(12)， x_uv=∂(x_u)/∂v=(-asinhusinv,bsinhucosv,0)・・・(13),x_vv=∂(x_v)/∂v =(-acoshucosv,-bcoshusinv,0)・・・(14)となる。ゆえに、 E=x_u・x_u=a^2sinh^2ucos^2v+b^2sinh^2usin^2v+c^2cosh^2u・・・(15), F=x_u・x_v=-a^2sinhucoshusinvcosv+b^2sinhucoshusinvcosv=(b^2-a^2)sinhucoshusinvcosv ・・・(16), G=x_v・x_v=a^2cosh^2usin^2v+b^2cosh^2ucos^2v=cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v)・・・(17) よって　 EG-F^2 =(a^2sinh^2ucos^2v+b^2sinh^2usin^2v+c^2cosh^2u)× 　　　　　　　 cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v)-[(b^2-a^2)sinhucoshusinvcosv]^2 =cosh^2u[(a^2sinh^2ucos^2v+b^2sinh^2usin^2v)(a^2sin^2v+b^2cos^2v)

(c^2cosh^2u)(a^2sin^2v+b^2cos^2v)-sinh^2u(b^4-2a^2b^2+a^4_)cosh^2usin^2vcos^2v] =cosh^2u[sinh^2u{a^2b^2(sin^4v+2sin^2vcos^2v+cos^4v}
```
 +(c^2cosh^2u_)(a^2sin^2v+b^2cos^2v)] ここで [ ]は2行に亘るとする。
```
=cosh^2u[sinh^2u{a^2b^2(sin^2v+cos^2v)^2}+b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v] =cosh^2u[sinh^2u{a^2b^2}+b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v] =[b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v+a^2b^2sinh^2u]cosh^2u・・・(18) そこで、 Δ＝√[b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v+a^2b^2sinh^2u]・・・(19) とおけば、 (18)は、EG-F^2=(Δ^2)cosh^2u・・・(20)となる。次に、x_u×x_vを計算すると、[計算略] x_u×x_v=(-bccosh^2ucosv,-cacosh^2usinv,absinhucoshu)・・・(21)　ゆえに |x_u×x_v|^2=coshu^2[b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v+a^2b^2sinh^2u]
```
           =(Δ^2)cosh^2u・・・(22)
```
⇔|x_u×x_v|=Δcoshu ・・・(23)　ここで次の[補題1]を準備する。 [補題1] Δ=abc・・・・(1.1)

「証明」(2)から、

$x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4$

  =a^2cosh^2ucos^2v/a^4+b^2cosh^2usin^2v/b^4+c^2sinh^2u/c^4
  =cosh^2ucos^2v/a^2+cosh^2usin^2v/b^2+sinh^2u/c^2
  =[1/(abc)^2][b^2c^2cosh^2ucos^2v+c^2a^2cosh^2usin^2v+a^2b^2sinh^2u]
  =・Δ^2   [∵　(19)による]

⇔ Δ=abc・ $[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^{1/2}$ 　よって証明された。（証明終わり）次に、 [命題2]

$e$ = $-(x/a^2$ , $y/b^2$ , $-z/c^2)$ / $[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^{1/2}$ ・・・(2.1)

と表すことができる。「証明」 e=(x_u×x_v)/|x_u×x_v|　・・・(7)と(21)(23) により、 e=(-bccosh^2ucosv,-cacosh^2usinv,absinhucoshu)/[Δcoshu]

=(-bccoshucosv,-cacoshusinv,absinhu)/Δ
=－(abc)(acoshucosv/a^2,bcoshusinv/b^2,－csinhu/c^2)/Δ・・・(2.2)　ここで、

(2) より (x↑)=x(u,v)=(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu)　だから

(acoshucosv/a^2,bcoshusinv/b^2,－csinhu/c^2)=(x/a^2,y/b^2,－z/c^2)・・・(2.3)を

(2.2)に代入して、 e=－(abc) $(x/a^2,y/b^2,-z/c^2)$ /Δ

=－[(abc)/Δ]・・・(2.4)　ところで[補題1]の

(1.1)式から、

(abc)/Δ=1/・・・(2.5) ゆえに(2.4)は

e= $-1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]$ ^{1/2}・ $(x/a^2,y/b^2,-z/c^2)$

=/ ・・・(2.6)となり証明された。

（証明終わり）

さて、L,M,Nを求めよう。L=H_11=x_uu・e,M=H_12=x_uv・e,N=H_22=x_vv・e であるので、 [命題2]と(12)から L=x_uu・e=(x,y,z)・e

=－(x,y,z)・(x/a^2,y/b^2,－z/c^2)/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)　
=－(x^2/a^2+y^2/b^2－z^2/c^2)/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=－1/^(1/2)　・・・(23)
[∵ 曲面Sの方程式は(1) から  x^2/a^2+y^2/b^2－z^2/c^2=1　]

即ち $L=-1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^{1/2}$ ・・・(24) 次に(13)の x_uv=(-asinhusinv,bsinhucosv,0) と[命題2]と(2)の x(u,v)=(acoshucosv,bcoshusinv,csinhu) により、 [x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・M=[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)x_uv・e =－(x/a^2,y/b^2,－z/c^2)・(-asinhusinv,bsinhucosv,0) =(x/a)sinhusinv-(y/b)sinhucosv=coshucosv(sinhusinv)－coshusinv(sinhucosv) =coshusinhusinvcosv－coshusinhusinvcosv=0 よって[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・M=0 ⇔ M=0 ・・・(25) 最後に Nを求める。(14)と(1)(2)[命題2]から N=x_vv・e=(-acoshucosv,-bcoshusinv,0)・e

=(-acoshucosv,-bcoshusinv,0)・[－(x/a^2,y/b^2,－z/c^2)]
 /[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=(-x,-y,0)・[－(x/a^2,y/b^2,－z/c^2)]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=[x^2/a^2+y^2/b^2]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=[(x^2/a^2+y^2/b^2－z^2/c^2)+z^2/c^2]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=[1+z^2/c^2]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=[1+c^2sinh^2u/c^2]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=[1+sinh^2u]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)
=cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)　[∵ cosh^2u－sinh^2u=1 ]

つまり、N=cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・・・(26)

☆それでは、Gauss曲率K 及び平均曲率 Hを求めよう。 (24)(25)(26)により、 LN-M^2=LN-0^2=LN =－1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) =－cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4] ・・・(27) ゆえに、(10)とEG-F^2=(Δ^2)cosh^2u・・・(20)から、 K=(LN-M^2)/(EG-F^2)=－cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4] ÷[(Δ^2)cosh^2u]

=－1/[(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)(Δ^2)]・・・(28)ここで[補題1]から、

Δ=abc・[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)　ゆえに、 K=-1/[(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)・(abc)^2・(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)]

=
・・・(29)　即ち

Gauss曲率Kは

・・・(30)

　つまりパラメーターu,vに無関係に、一葉双曲面の任意の(x,y,z)に対し、

Gauss曲率は、 (30)で与えられ、K　＜ 0 ・・・(31)であることも分かった。

また、(x,y,z)の値により変化することも分かった。次に Sophie Germain(ソフィー・ジェルマン)の平均曲率 Hを求める。M=0と(24)(26)により、

$H=[EN-2FM+GL)/[2(EG-F^2)]=[(EN+GL)/[2(EG-F^2)]$ 　・・・(32)であった。ここで、E=a^2sinh^2ucos^2v+b^2sinh^2usin^2v+c^2cosh^2u・・・(15)と N=cosh^2u/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・・・(26)とにより, EN=cosh^2u[a^2sinh^2ucos^2v+b^2sinh^2usin^2v+c^2cosh^2u] 　 ×1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)

 =cosh^2u[sinh^2u(a^2cos^2v+b^2sin^2v)+c^2(1+sinh^2u)}

　 ×1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)　{∵　cosh^2u-sinh^2u=1 ] 　=cosh^2u[(cosh^2u－1)(a^2cos^2v+b^2sin^2v)+c^2sinh^2u+c^2] 　 ×1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)

 =cosh^2u[a^2cosh^2ucos^2v+b^2cosh^2usin^2v+c^2sinh^2u-(a^2cos^2v+b^2sin^2v)+c^2]

　 ×1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)・・・(33)　　　[ ∵　sinh^2u=cosh^2u－1 ] また、(17)のG=cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v_)と(24)の

L=－1/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)とから、

から GL=cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v)×[－1/(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)^(1/2)]

 =－cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v)/[(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)^(1/2)]
  ・・・(34)

ゆえに、 EN+GL=cosh^2u[a^2cosh^2ucos^2v+b^2cosh^2usin^2v+c^2sinh^2u-(a^2cos^2v+b^2sin^2v)+c^2] 　 /[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) 　　 -cosh^2u(a^2sin^2v+b^2cos^2v)/[(x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4)^(1/2)]

  　=cosh^2u[(x^2+y^2+z^2)-(a^2cos^2v+b^2sin^2v)－(a^2sin^2v+b^2cos^2v)+c^2]

　　　/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) 　　 =cosh^2u[(x^2+y^2+z^2)-a^2(cos^2v+sin^2v_)-b^2(sin^2v+cos^2v)+c^2] 　　　/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) 　　 =cosh^2u[(x^2+y^2+z^2)-(a^2+b^2-c^2)] 　　　/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2)　・・・(35)

　[ここで、(1)の x=acoshucosv, y=bcoshusin^2v,z=csinhu　を用いた。] したがって、(32)の平均曲率は (35)÷[2×_(20)]として　H=[EN－2FM+GL)/[2(EG-F^2)]=[(EN+GL)/[2(EG-F^2)] 　　　　　 =cosh^2u[(x^2+y^2+z^2)-(a^2+b^2-c^2)]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^(1/2) 　　　　　÷[2(Δ^2)cosh^2u]・・・(20) 　　　　　 = $[(x^2+y^2+z^2)-(a^2+b^2-c^2)]/[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]^{1/2}$ 　　　　　×1/[2(Δ^2)]　・・・(36)　ところが[補題1]により、　 Δ^2= $(abc)^2$ × $[x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4]$ よって (36)から

　　　・・・(37) 　と求まった。

一葉双曲面の任意の(x,y,z)に対し、平均曲率は (37)で与えられパラメーターに関係ない。

なお、上記の内容は、小林　昭七著「曲線と曲面の微分幾何」のP62の例3.3を敷衍(ふえん）して書いただけである。今はこのような古典的な内容は大学ではやらない事が多い。大学1年生か2年生の内容である。私のときもやらなかった。いきなり3年生で多様体論を学習した。研究者を目指す読者は早いうちに、、「多様体論」を学習するべきであると思う。「多様体論」の本としては、松島与三「多様体入門(新装版)」と村上　信吾「多様体第2版」,松本幸夫「多様体の基礎」

今は、東京大学出版会の

「坪井　俊」の「多様体入門」から始まる幾何学の三部作「幾何学<1>_多様体入門」, 「幾何学<2>_ホモロジー入門」,「幾何学<3>_微分形式」がある。坪井の本は行間が狭く、

1頁に文字がびっしりと記されており、内容が盛りだくさんで、なかなか読みにくい気が

　私にはする。

★　次回は、二葉双曲面P62～P63の例3.4について(古典的な微分幾何)などか、「四面体及び三角形の内心Iと、内接球面と接点I^A,I^B,I^C,(I^D)との間のベクトル等式」について　記す予定である。

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最終更新：2018年01月10日 00:20